安徽省安庆市潜山市2023-2024学年八年级上学期数学月考考试试卷

试卷更新日期：2024-01-25 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1. 如图，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上任意一点，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ，若 $△ P O M$ 的面积等于5，则 $k$ 的值等于（）

A、2.5 B、10 C、 $- 10$ D、 $- 5$

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2. 已知 $\frac{1}{2} < c o s α < s i n 80 °$ ，则锐角 $α$ 的取值范围是（　）

A、 $30 ° < α < 80 °$ B、 $10 ° < α < 80 °$ C、 $60 ° < α < 80 °$ D、 $10 ° < α < 60 °$

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3. 积为 $20$ 平方厘米的矩形，其长宽分别为 $x$ 厘米和 $y$ 厘米，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4.
为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（　　）

A、BC，∠ACB B、DE，DC，BC C、EF，DE，BD D、CD，∠ACB，∠ADB

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5. 已知 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ ，且 ${\begin{array}{l} x + n = 2 m - 3 \\ 2 x - n = m \end{array}$ ，其中 $m \leq 3$ ， $n \geq - 3$ ，则 $y$ 的取值范围（）

A、 $- 1 \leq y \leq 17$ B、 $1 \leq y \leq 17$ C、 $- 1 \leq y \leq 8$ D、 $- 1 \leq y \leq 1$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 并延长和 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ， $A E = 1 ， B C = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{A B}{D F} = \frac{1}{3}$ B、 $\frac{C D}{C F} = \frac{1}{4}$ C、 $\frac{E D}{B C} = \frac{3}{4}$ D、 $\frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}$

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7. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：
①方程 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 是倍根方程；
②若 $(x - 2) (m x + n) = 0$ 是倍根方程，则 $m = - n$ 或 $m = - \frac{1}{4} n$ ；
③若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 是倍根方程，且相异两点 $M (2 + t ， s)$ ， $N (4 - t ， s)$ 都在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根为2．
其中，正确说法的个数是（　　）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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8. 如图，正方形ABCD的顶点A（0， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），B（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤ $\sqrt{2}$ ），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 4 ， A C = x ， ∠ B A C = α$ ， $O$ 为 $A B$ 中点，若点 $D$ 为直线 $B C$ 下方一点，且 $△ B C D$ 与 $△ A B C$ 相似，则下列结论：①若 $α = 45 °$ ， $B C$ 与 $O D$ 相交于 $E$ ，则点 $E$ 不一定是 $△ A B D$ 的重心；②若 $α = 60 °$ ，则 $A D$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$ ；③若 $α = 60 ° ， △ A B C ∽ △ C B D$ ，则 $O D$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ ；④若 $△ A B C ∽ △ B C D$ ，则当 $x = 2$ 时， $A C + C D$ 取得最大值．其中正确的为（）

A、①④ B、②③ C、①②④ D、①③④

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10. 如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结 $E C$ 与 $B G$ 交于 $M$ ，射线 $B H$ 交 $E C$ 于点 $N$ ，交 $E F$ 于点 $Q$ ，交 $A D$ 于点 $K$ ，连接 $K E$ ，则与 $△ D K E$ 面积相等的图形是（）

A、 $△ M E F$ B、 $△ H N E$ C、 $四边形$ $M N Q F$ D、 $△ C G M$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 已知抛物线 $y = - 5 (x + m)^{2} - 3$ ，当 $x ≥ 1$ 时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是．

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12. 在 $△ A B C$ 中，已知点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，如果 $A D = 2 c m$ ， $D B = 4 c m$ ， $A E = 3 c m$ ， $E C = 1 c m$ ， $D E = 2.5 c m$ ，那么 $B C =$ $c m$ ．

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13. 已知抛物线 $y = x^{2} - 4 m x + 4 m^{2} + 3 m - 1$ （m为常数）．若该抛物线与x轴只有一个交点，则 $m =$ ；若该抛物线与直线 $y = - x + 1$ 有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是．

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14. 如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则 $S_{ΔBEF} ： S_{ΔABF} ： S_{ΔADF} ： S_{四边形 CDFE}$ ＝.

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三、解答题（本大题共9小题，15、16、17、18每小题8分，19、20每小题10分，21、22每小题12分，23题14分，满分90分）

15. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{3 x}$ 的图像与一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图像交于A(－1， $a$ ），B在( $\frac{1}{3}$ ，－3)两点．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

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16. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s A = \frac{2}{3}$ ， D是边 $A C$ 的中点，连结 $B D$ ．

(1)、已知 $B C = \sqrt{5}$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、求 $c o t ∠ A B D$ 的值．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，边长 $A B = 18 c m$ ， $A D = 4 c m$ ，两动点 $P$ 、 $Q$ 分别从 $A$ 、 $B$ 同时出发，点 $P$ 从 $A$ 沿 $A B$ 向 $B$ 匀速运动，每秒 $2 c m$ ，点 $Q$ 从 $B$ 沿 $B C$ 向 $C$ 匀速运动，每秒 $1 c m$ ，两点 $P$ 、 $Q$ 中有一点到达矩形的顶点则运动停止.设运动时间为 $x$ 秒， $Δ B P Q$ 的面积为 $y c m^{2}$

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $P$ 、 $Q$ 两点运动多少秒时， $Δ B P Q$ 的面积为 $14 c m^{2}$ ；

(3)、当 $x$ 取何值时， $Δ B P Q$ 的面积最大？并求出其最大面积.

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18. 如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P．

(1)、求∠DAE的度数；

(2)、求BP的长．

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19. 某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．

(1)、写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；

(2)、当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

(3)、当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？

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20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．

(1)、求证：△AEB～△CFB；

(2)、若AE＝2EC，BC＝6．求AB的长．

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21. 如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？

(3)、连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．

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22. 菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．

(1)、当∠CAE=30°时，且CE= $\sqrt{3}$ ，求菱形的面积；

(2)、当∠BGF+∠BCF=180°，AE=BE时，求证：BF=( $\sqrt{2}$ +1)GF．

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23. 如图，抛物线y=ax²+3x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB=OC=4．

(1)、求该抛物线的函数解析式．

(2)、如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S_△_COF：S_△_CDF=4：3时，求点D的坐标．

(3)、如图2，点E的坐标为（0，-2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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