九省联考2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试题

试卷更新日期：2024-01-24 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{3} + a_{7} = 6 ， a_{12} = 17$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、120 B、140 C、160 D、180

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4. 设 $α ， β$ 是两个平面， $m ， l$ 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α ⊥ β ， m ∥ α ， l ∥ β$ ，则 $m ⊥ l$ B、若 $m \subset α ， l \subset β ， m ∥ l$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ∩ β = m ， l ∥ α ， l ∥ β$ ，则 $m ∥ l$ D、若 $m ⊥ α ， l ⊥ β ， m ∥ l$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）

A、20种 B、16种 C、12种 D、8种

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6. 已知 $Q$ 为直线 $l ： x + 2 y + 1 = 0$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\vec{Q P} = (1 ， - 3)$ ，记 $P$ 的轨迹为 $E$ ，则（）

A、 $E$ 是一个半径为 $\sqrt{5}$ 的圆 B、 $E$ 是一条与 $l$ 相交的直线 C、 $E$ 上的点到 $l$ 的距离均为 $\sqrt{5}$ D、 $E$ 是两条平行直线

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7. 已知 $θ \in (\frac{3 π}{4} ， π) ， t a n 2 θ = - 4 t a n (θ + \frac{π}{4})$ ，则 $\frac{1 + s i n 2 θ}{2 c o s^{2} θ + s i n 2 θ} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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8. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| F_{1} B | = 2 | F_{1} A | ， \vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B} = 4 a^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{3 π}{4}) + c o s (2 x + \frac{3 π}{4})$ ，则（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 为偶函数 B、曲线 $y = f (x)$ 的对称轴为 $x = k π ， k \in Z$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$

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10. 已知复数 $z ， w$ 均不为0，则（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{| z |^{2}}$ C、 $\bar{z - w} = \bar{z} - \bar{w}$ D、 $| \frac{z}{w} | = \frac{| z |}{| w |}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (\frac{1}{2}) \neq 0$ ，若 $f (x + y) + f (x) f (y) = 4 x y$ ，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = - 2$ C、函数 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、函数 $f (x + \frac{1}{2})$ 是减函数

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 2 ， 4} ， B = {x | | x - 3 | \leq m}$ ，若 $A ∩ B = A$ ，则 $m$ 的最小值为．

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13. 已知轴截面为正三角形的圆锥 $M M^{'}$ 的高与球 $O$ 的直径相等，则圆锥 $M M^{'}$ 的体积与球 $O$ 的体积的比值是，圆锥 $M M^{'}$ 的表面积与球 $O$ 的表面积的比值是．

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14. 以 $m a x M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．设 $0 < a < b < c < 1$ ，已知 $b \geq 2 a$ 或 $a + b \leq 1$ ，则 $m a x {b - a ， c - b ， 1 - c}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} + a x + 2$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线与直线 $2 x + 3 y = 0$ 垂直．

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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16. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．

(1)、求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)、记取出的3个小球上的最小数字为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ．

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17. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $A A_{1} = 2 ， ∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D ， ∠ C_{1} C O = 45 °$ ．

(1)、证明： $C_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - A A_{1} - D$ 的正弦值．

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18. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D ， E$ 两点，其中 $B ， D$ 在 $x$ 轴上方， $M ， N$ 分别为 $A B ， D E$ 的中点．

(1)、证明：直线 $M N$ 过定点；

(2)、设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ G M N$ 面积的最小值．

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19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设 $p$ 是素数，集合 $X = {1 ， 2 ， ⋯ ， p - 1}$ ，若 $u ， v \in X ， m \in N$ ，记 $u \otimes v$ 为 $u v$ 除以 $p$ 的余数， $u^{m ， \otimes}$ 为 $u^{m}$ 除以 $p$ 的余数；设 $a \in X$ ， $1 ， a ， a^{2 ， \otimes} ， ⋯ ， a^{p - 2 ， \otimes}$ 两两不同，若 $a^{n ， \otimes} = b (n \in {0 ， 1 ， ⋯ ， p - 2})$ ，则称 $n$ 是以 $a$ 为底 $b$ 的离散对数，记为 $n = l o g (p)_{a} b$ ．

(1)、若 $p = 11 ， a = 2$ ，求 $a^{p - 1 ， \otimes}$ ；

(2)、对 $m_{1} ， m_{2} \in {0 ， 1 ， ⋯ ， p - 2}$ ，记 $m_{1} \oplus m_{2}$ 为 $m_{1} + m_{2}$ 除以 $p - 1$ 的余数（当 $m_{1} + m_{2}$ 能被 $p - 1$ 整除时， $m_{1} \oplus m_{2} = 0$ ）．证明： $l o g (p)_{a} (b \otimes c) = l o g (p)_{a} b \oplus l o g (p)_{a} c$ ，其中 $b ， c \in X$ ；

(3)、已知 $n = l o g (p)_{a} b$ ．对 $x \in X ， k \in {1 ， 2 ， ⋯ ， p - 2}$ ，令 $y_{1} = a^{k ， \otimes} ， y_{2} = x \otimes b^{k ， \otimes}$ ．证明： $x = y_{2} \otimes y_{1}^{n (p - 2) ， \otimes}$ ．

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