广东省深圳市南山区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-01-24 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $4 5^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $13 5^{∘}$

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2. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 9$ 与 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的位置关系为（）

A、外切 B、内切 C、相交 D、外离

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3. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，点 $M ， N$ 分别为棱 $A B ， O C$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$

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4. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (2 ， y_{0})$ 到其焦点的距离为3，则该抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 6 x$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $y^{2} = 10 x$

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5. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，若 $a ， b ， \frac{\sqrt{3}}{6} c$ 依次成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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6. 记公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} = 3 (a_{2} + 3 a_{9} + a_{k})$ ，则 $k =$ （）

A、13 B、12 C、11 D、10

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7. 过点 $M (2 ， 1)$ 作斜率为-1的直线与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知 $E F$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的一条弦，且 $C E ⊥ C F ， P$ 是 $E F$ 的中点，在直线 $x - y - 3 = 0$ 上总存在两点 $A ， B$ ，使得当弦 $E F$ 在圆 $C$ 上运动时， $∠ A P B \geq \frac{π}{2}$ 恒成立，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2} + 2$ B、 $4 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 0) ， \vec{b} = (- 2 ， 0 ， 1)$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (- 1 ， 2 ， 1)$ B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

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10. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y = 0$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $M$ 的半径为10 B、 $M$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称 C、直线 $x - y + 3 = 0$ 被 $M$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{17}$ D、若点 $P (a ， b)$ 在 $M$ 上，则 $\sqrt{(a - 3)^{2} + (b - 4)^{2}}$ 的最大值为25

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且 $a_{n + 1} + a_{n} = (- 1)^{n} ， S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的为（）

A、 $S_{2 n} = - n$ B、数列 ${a_{n} + (- 1)^{n}}$ 为等比数列 C、数列 ${(- 1)^{n} \cdot a_{n}}$ 为等差数列 D、 $\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}} + \frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} > - 1$

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12. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A ， B$ 是 $C$ 上的两点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的为（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、若 $| A F | = 4$ ，则 $△ A O F$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、若直线 $A B$ 过焦点 $F$ ，且 $A B = \frac{16}{3}$ ，则 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ D、若 $O A ⊥ O B$ ，则 $| O A | \cdot | O B | \geq 32$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知直线 $l_{1} ： x - 2 y + 1 = 0 ， l_{2} ： x + m y + 2 = 0$ ，若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则 $l_{1} ， l_{2}$ 的距离为.

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14. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，若点 $A (- 1 ， 0 ， 1) ， B (2 ， 3 ， c)$ 均在 $α$ 内，则 $| \vec{A B} | =$ .

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15. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n} = (\sqrt{3})^{n^{2} + n}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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16. 已知点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ､ F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{∘}$ ，记 $P$ 的轨迹为 $C_{1}$ ，以 $| P F_{1} |$ 的最大值为长轴，且以 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左､右焦点的椭圆为 $C_{2}$ ，则 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点到 $x$ 轴的距离为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{4} = - 9 ， a_{7} = - 6$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} > 13$ ，求 $n$ 的最小值.

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18. 已知圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ .

(1)、过点 $P (3 ， 2)$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，求 $l$ 的方程；

(2)、若点 $Q$ 为直线 $l^{'} ： 3 x - 4 y + 13 = 0$ 上的动点，过 $Q$ 作圆 $C$ 的切线，记切点为 $M$ ，当 $| Q M |$ 取最小值时，求 $∠ C Q M$ 的大小.

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19. 如图，在平面四边形 $A B C P$ 中， $D$ 为 $P A$ 的中点， $P A ⊥ A B ， C D$ $∥$ $A B$ ，且 $P A = C D = 2 A B = 4$ .将此平面四边形 $A B C P$ 沿 $C D$ 折成直二面角 $P - D C - B$ ，连接 $P A ， P B ， B D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*} ， a_{n} S_{n + 1} - a_{n + 1} S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2}$ .

(1)、证明： ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 为等差数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $A B$ $∥$ $C D ， A D ⊥ C D ， B C = B P ， C D = 2 A B = 4$ ， $△ A D P$ 是等边三角形，且 $E$ 为 $D P$ 的中点.

(1)、证明： $A E$ $∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $P A = 6$ 时，试判断在棱 $B C$ 上是否存在点 $M$ ，使得二面角 $M - P A - E$ 的大小为 $6 0^{∘}$ .若存在，请求出 $\frac{B M}{B C}$ 的值；否则，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 在双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的一条渐近线上，已知 $C$ 的焦距为4，且 $F$ 为 $C$ 的一个焦点，当 $| P F |$ 最小时， $△ P O F$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $Q (2 ， 3)$ ，直线 $l ： y = k (x - 2)$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点.当 $| k | < \sqrt{3}$ 时， $l$ 上存在点 $M$ 使得 $k_{1} + k_{2} = 2 k_{3}$ ，其中 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ 依次为直线 $Q A ， Q B ， Q M$ 的斜率，证明： $M$ 在定直线上.

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