广东省深圳市南山区2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-01-24 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 4}$ B、 ${0 ， 1 ， 3 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${2}$

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2. 已知 $z \cdot i = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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3. 若函数 $f (x) = l n (x^{2} + 2 m x)$ 在区间 $(1 ， + ∞)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， + ∞)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， + ∞)$ C、 $[- 1 ， + ∞)$ D、 $(- 1 ， + ∞)$

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4. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，且 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 龙洗作为我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故得其名.龙洗的盆体可近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高 $10 c m$ ，盆口直径 $20 c m ，$ 盆底直径 $10 c m ，$ 盆内倒满水，若不考虑盆体厚度，则盆内水的体积近似为（）

A、 $916 c m^{3}$ B、 $1833 c m^{3}$ C、 $3665 c m^{3}$ D、 $7330 c m^{3}$

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6. 已知直线 $k x - y + k + 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， 2)$ 上单调递减，若 $f (2) = f (4)$ ，则实数 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{π}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{π}{3}]$

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8. 已知实数 $m ， n$ 满足 $(m + 1)^{3} + m = (n - 1)^{3} + n = 0$ ，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题中，为真命题的有（）

A、 $\forall x > 0 ， x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、 $\exists x ＜ 0 ， x + \frac{1}{x} ＞ - 2$ C、 $\forall x > 0 ， \frac{x}{1 + x^{2}} \geq \frac{1}{2}$ D、 $\exists x < 0 ， \frac{x}{1 + x^{2}} \leq - \frac{1}{2}$

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10. 已知甲､乙两组样本数据分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 和 $x_{1} - 1 ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} + 1$ ，则下列结论正确的为（）

A、甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等 B、甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等 C、甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差 D、甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差

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11. 已知直线经过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (\frac{3}{2} ， 0)$ ，且与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（其中 $| A F | > | B F |$ ），与 $C$ 的准线交于点 $D$ ，若 $| A B | = 8$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $p = \frac{3}{2}$ B、 $| A F | = 6$ C、 $| B D | = 3 | B F |$ D、 $F$ 为 $A D$ 中点

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项不为零，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 \sqrt{S_{n}} = a_{n} + t$ ，则下列结论正确的为（）

A、 ${a_{n}}$ 不可能为常数列 B、 $t \leq 1$ C、当 $t = 1$ 时， ${a_{n}}$ 为等差数列 D、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 ${a_{n}}$ 的公比唯一

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{3 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，则实数 $k$ 的取值范围为.

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14. 已知sin（α+ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则sin2α= ．

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15. 著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如 $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ .已知 $315 = a_{1} \times a_{2} \times ⋯ \times a_{n}$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 均为质数，若从 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 中任选2个构成两位数 $\bar{a_{i} a_{j}} (i \neq j$ ，且 $1 \leq i ， j \leq n)$ ，则 $\bar{a_{i} a_{j}}$ 的十位数字 $a_{i}$ 与个位数字 $a_{j}$ 不相等的概率为.

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16. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ B A D = 6 0^{∘}$ ，将 $△ A B D$ 沿直线 $B D$ 翻折为 $△ A^{'} B D$ ，记 $A^{'} C$ 的中点为 $M$ ，当 $△ A^{'} C D$ 的面积最大时，三棱锥 $M - B C D$ 的外接球表面积为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， s i n A - s i n (B + \frac{5}{6} π) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $C = \frac{π}{6}$ .

(1)、求 $s i n B$ 的值；

(2)、若 $b = 4$ ，且 $B > \frac{π}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2 n - 1$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $4 A B = \sqrt{3} A C_{1}$ ， $∠ C A C_{1} = 3 0^{∘} ， ∠ C A B = 6 0^{∘}$ .

(1)、证明： $A_{1} B_{1} ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x) = \frac{e^{x} - m}{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 为单调递增函数，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m = 0$ 时，证明： $f (x) > \frac{x}{2} + \frac{1}{x} + 1$ .

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21. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.

(1)、若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若规定试验者乙至多可进行 $n (n \in N^{*})$ 轮试验（若第 $n$ 轮不成功，也停止试验），记乙在第 $k (k \in N^{*} ， k \leq n)$ 轮使得试验成功的概率为 $P_{k}$ ，则乙能试验成功的概率为 $P (n) = \sum_{k = 1}^{n} P_{k}$ ，证明： $P (n) < \frac{1}{3}$ .

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22. 已知动点 $E$ 到直线 $x = 4$ 的距离与它到定点 $(2 ， 0)$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ ，记点 $E$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 与 $y$ 轴的上､下半轴的交点依次为 $A_{1} ， A_{2}$ ，若 $P$ 为 $C$ 上异于 $A_{1} ， A_{2}$ 的一点，且直线 $P A_{1} ， P A_{2}$ 分别交直线 $y = 4$ 于 $M ， N$ 两点，直线 $M A_{2}$ 交 $C$ 于点 $Q$ （异于 $A_{2}$ ）.
（i）求直线 $P A_{1} ， P A_{2}$ 的斜率之积；
（ii）证明：直线 $Q N$ 恒过定点.

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