重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期1月期末学业质量联合调研抽测数学试题

试卷更新日期：2024-01-24 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若圆的方程为 $(x - 1) (x + 2) + (y - 2) (y + 4) = 0$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - 1)$

查看试题解析
2. 下列直线中，倾斜角最大的是（）

A、 $y = 0$ B、 $y = 1 - x$ C、 $x = 1$ D、 $y = x - 1$

查看试题解析
3. 已知圆 $C$ 的圆心为 $(- t ， t)$ ，且圆 $C$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $A (0 ， 4) ， B (0 ， - 2)$ ，则圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 10$ B、 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ C、 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = \sqrt{10}$ D、 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = \sqrt{10}$

查看试题解析
4. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线CQ与平面 $A E G D_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

查看试题解析
5. 已知直线 $l$ ： $3 x + y - 5 = 0$ 和圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 y - 4 = 0$ 交于A ， B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{5}$ C、 $- \frac{9}{25}$ D、 $\frac{9}{25}$

查看试题解析
6. 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内的一定点)，且 $| A B | = 2$ ，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B ，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A ， B两点距离之和最小的点为P ，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C.在C上任取一点M ，则△MAB面积的最大值是（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
7. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，上顶点为 $A$ ，左顶点为 $B$ ，设 $P$ 为椭圆上一点，则 $Δ P A B$ 面积的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ .若已知 $M (- \sqrt{3} ， 0) ， N (\sqrt{3} ， 0)$ ，点 $Q$ 为椭圆上任意一点，则 $\frac{1}{| Q N |} + \frac{4}{| Q M |}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\frac{9}{4}$

查看试题解析
8. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，过 $F_{1}$ 直线 $l$ 交双曲线左支于 $A 、 B$ 两点，则 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最小值为（）

A、9 B、10 C、14 D、 $\frac{15}{2}$

查看试题解析

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. 已知点 $A (- 2 ， 3 ， 4)$ ，在z轴上求一点B ，使|AB|＝7，则点B的坐标为（）

A、 $(0 ， 0 ， 10)$ B、 $(0 ， 10 ， 0)$ C、 $(0 ， 0 ， - 2)$ D、 $(0 ， 0 ， 2)$

查看试题解析
10. 下列四个命题中真命题有（）

A、直线 $y = x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ B、经过定点 $A (0 ， 2)$ 的直线都可以用方程 $y = k x + 2$ 表示 C、直线 $6 x + m y + 4 m - 12 = 0 (m \in R)$ 必过定点 D、已知直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 与直线 $6 x + m y - 12 = 0$ 平行，则平行线间的距离是 $1$

查看试题解析
11. 设 $a > 0 ， b > 0$ ．若 $a^{2} + a = 3 b^{2} + 2 b$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $b < a$ C、 $a < 2 b$ D、 $b < 2 a$

查看试题解析
12. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），过左焦点 $F_{1}$ 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，过右焦点 $F_{2}$ 作一条直线交C的右支于A ， B两点， $△ F_{1} A B$ 的内切圆与 $F_{1} A$ 相切于点Q ，则（）

A、线段AB的最小值为 $\frac{b^{2}}{a}$ B、 $△ F_{1} A B$ 的内切圆与直线AB相切于点 $F_{2}$ C、当 $| P F_{1} | = | Q F_{1} |$ 时，C的离心率为2 D、当点 $F_{1}$ 关于点P的对称点在另一条渐近线上时，C的渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm y = 0$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知直线方程为 $x - y - 3 = 0$ ，则该直线的倾斜角为.

查看试题解析
14. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 4)$ 上有且仅有4个不同的点 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ 满足 $| P_{i} B | =$ $2 | P_{i} A |$ ，其中 $A (- \frac{3}{2} ， 0) ， B (- 6 ， 0)$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为．

查看试题解析
15. 古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A ， B ，则满足 $\frac{M A}{M B} = λ (λ \neq 1)$ 的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知 $A (4 ， 0) ， B (1 ， 0) ， C (1 ， - 4)$ ，动点M满足 $\frac{M A}{M B} = 2$ ，则 $△ M A C$ 面积的最大值为.

查看试题解析
16. 如图抛物线 $Γ_{1}$ 的顶点为A ，焦点为F ，准线为 $l_{1}$ ，焦准距为4；抛物线 $Γ_{2}$ 的顶点为B ，焦点也为F ，准线为 $l_{2}$ ，焦准距为6． $Γ_{1}$ 和 $Γ_{2}$ 交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T ，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是
① $| A B | = 5$ ；②四边形MNST的面积为 $40 \sqrt{6}$ ；③ $\vec{F S} \cdot \vec{F T} = 0$ ；④ $| C D |$ 的取值范围为 $[5 ， \frac{25}{3}]$ .

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 如图，已知直四棱柱 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ A$ 为直角，AB∥CD ， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $D C = 1$ ，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．

查看试题解析
18. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 截直线 $a x + y - 1 = 0$ 所得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值

查看试题解析
19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， M (1 ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是抛物线上一点且三角形MOF的面积为 $\frac{1}{8}$ （其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P ， Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M ，过点M作 $M N ⊥ P Q$ 交PQ于点N.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $△ P C D$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $A B C D$ 是矩形， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， M为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $A M ⊥ P M$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $A M P$ 所成角的正弦值；

(3)、求点D到平面 $A M P$ 的距离．

查看试题解析
21. 图1是由正三角形 $S A D$ 和正方形 $A B C D$ 组成的一个平面图形，将其沿 $A D$ 折起使得平面 $S A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，连结 $S B$ 、 $S C$ ，如图2．

(1)、证明： $A B ⊥ S D$ ；

(2)、求二面角 $A - S D - B$ 的余弦值．

查看试题解析
22. 已知中心在坐标原点 $O$ ，一个焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的椭圆被直线 $y = x - 1$ 截得的弦的中点的横坐标为 $\frac{4}{5}$ .

(1)、求此椭圆的方程；

(2)、设直线 $l ： y = k x + m (k \neq 0 ， m > 0)$ 与椭圆交于 $P ， Q$ 两点，且以 $P Q$ 为对角线的菱形的一个顶点为 $M (- 1 ， 0)$ ，求 $△ O P Q$ 面积的最大值及此时直线 $l$ 的方程.

查看试题解析