广西壮族自治区防城港市防城区2024年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-24 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）

1. 点 $B (- 5 ， 6)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标是（）

A、 $(5 ， 6)$ B、 $(- 5 ， 6)$ C、 $(5 ， - 6)$ D、 $(- 5 ， - 6)$

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2. 分式 $\frac{1}{3 - x}$ 有意义的条件是（）

A、 $x = - 3$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \neq - 3$ D、 $x \neq 3$

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3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边长可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、11

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 ${(- a)}^{3} \div (- a) = a^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A = 28 °$ ， $∠ B = 62 °$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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7. 如图下列各组条件中，可以判定 $△ A B C ≅ △ D E F$ 的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ 、 $∠ B = ∠ D E F$ 、 $∠ A C B = ∠ F$ B、 $A B = D E$ 、 $A C = D F$ 、 $B C = C F$ C、 $∠ A = ∠ D$ 、 $B C = E F$ 、 $A B ∥ D E$ D、 $∠ A = ∠ D$ 、 $A B = D E$ 、 $B C = E F$ 、 $∠ A = ∠ D$

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8. 正多边形的每一个外角都是 $30 °$ ，则这个正多边形的内角和是（）

A、 $1080 °$ B、 $720 °$ C、 $360 °$ D、 $1800 °$

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9. 下列是最简分式的是（）

A、 $\frac{1 - x}{x - 1}$ B、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ D、 $\frac{4}{2 x}$

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10. 如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若 $∠ B O D = 20 °$ ，则 $∠ A E C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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11. 如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} + a b = a (a + b)$

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为12， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，直线 $E F$ 垂直平分 $B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ， $P$ 是线段 $E F$ 上的一个动点，分别连接 $B P$ ， $P D$ ，则 $△ P B D$ 的周长的最小值是（）

A、6 B、7 C、10 D、12

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）

13. 分解因式： $m n - m^{2} =$ .

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14. 白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害.据研究，白细胞直径约为0.000012米，0.000012用科学记数法表示为.

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15. 2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名.射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是.

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16. 如图，边长为 $5 c m$ 的正三角形 $A B C$ 向右平移 $1 c m$ ，得到正三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，此时阴影部分的周长为 $c m$ .

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17. 若 $x^{2} + 2 (m - 3) x + 16$ 是完全平方式，则 $m$ 的值等于．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 30 °$ ， $A D ⊥ A B$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $B C = 30 °$ ，则 $B D =$ .

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三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19. 计算： $4 x^{2} \cdot 5 x^{4} + {(- 2 x^{2})}^{3}$

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20. 解方程： $\frac{x}{x + 1} + \frac{3}{x} = 1$ .

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21. 在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ .

(1)、画出 $∠ B A C$ 的平分线，且与 $B C$ 相交于点 $D$ （尺规作图，保留作图痕迹）；

(2)、若 $∠ C = 70 °$ ，求 $∠ B A D$ 的度数.

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22. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2 a - 1}{a^{2}}) \div \frac{a - 1}{a^{2}}$ ，其中 $a = 1 - \sqrt{3}$

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23. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ∥ B C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ .

(1)、求证： $∠ E B D = ∠ E D B$ .

(2)、当 $A B = A C$ 时，请判断 $C D$ 与 $E D$ 的大小关系，并说明理由.

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24. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上，点 $E$ ， $F$ 分别在直线 $A B$ 的两侧，且 $A E = B F$ ， $A E ∥ B F$ ， $A C = B D$ .

(1)、求证： $△ A C E ≅ △ B D F$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A C = 2$ ，求 $C D$ 的长.

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25. 【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是 $x$ 元。

(1)、请用含 $x$ 的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；

(2)、若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；

(3)、为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.

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26. 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动

(1)、【操作发现】对折 $△ A B C$ （ $A B > A C$ ），使点 $C$ 落在边 $A B$ 上的点 $E$ 处，得到折痕 $A D$ ，把纸片展平，如图1.小明根据以上操作发现：四边形 $A E D C$ 满足 $A E = A C$ ， $D E = D C$ .查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.请写出图1中筝形 $A E D C$ 的一条性质.

(2)、【探究证明】已知：如图2，在筝形 $A E D C$ 中， $A E = A C$ ， $D E = D C$ ，对角线 $A D$ 、 $E C$ 交于点 $O$ .求证： $A D ⊥ E C$

(3)、【迁移应用】如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $B C$ ， $A B$ 上的动点，当四边形 $A E D C$ 为筝形时， $∠ B D E$ 的度数为多少？

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