广西壮族自治区防城港市防城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-24 类型：期末考试

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一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1. 下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、明天会下雨 B、抛一枚硬币，正面朝上 C、地球每天都在自转 D、打开电视机，正在播放广告

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3. 平面直角坐标系内，点 $P (2 ， - 3)$ 关于原点对称点的坐标是（）

A、 $(3 ， - 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(2 ， - 3)$

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4. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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5. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $m < 1$ D、 $m \leq 1$

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6. 用配方法解方程 $x^{2} + 1 = 8 x$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = 15$ B、 ${(x + 4)}^{2} = 17$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 15$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 17$

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7. 在 $⊙ O$ 中，P是弦 $A B$ 的中点， $C D$ 是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、 $∠ A O B = 4 ∠ A C D$ C、 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ D、 $P O = P D$

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8. 抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）

A、 $y = {(x - 3)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x + 3)}^{2} + 2$

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9. 下列说法正确的是（）

A、抛一枚质地均匀的硬币8次，其中正面朝上的有5次，所以正面朝上的概率为 $\frac{5}{8}$ B、某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 C、天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨 D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

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10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得 $△ A^{'} B C^{'}$ ，若点 $C^{'}$ 在AB上，则 $A A^{'}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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11. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（）

A、 ${(1 + x)}^{2} = 121$ B、 $1 + x + x^{2} = 121$ C、 $1 + x + {(x + 1)}^{2} = 121$ D、 $1 + x + 2 (x + 1) = 121$

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12. 已知如图，在正方形 $A B C D$ 中，点A、C的坐标分别是 $(- 1 ， 5)$ 和 $(2 ， 0)$ ，点D在 $y = \frac{1}{3} x^{2} + k x$ 的图象上，则k的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）

13. “明天太阳从西边升起”是事件.

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14. 抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 的顶点坐标是.

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15. 关于x的方程 $x^{2} + k x + 2 = 0$ 的一个根是1，则 $k =$ .

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16. 圆锥的底面半径为2，母线长为3，它的侧面积为.

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17. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为.

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18. 四边形 $A B C D$ 是正方形，E ， F分别是 $D C$ 和 $C B$ 的延长线上的点，且 $D E = B F$ ，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ .若 $B C = 8$ ， $D E = 3$ ，则 $△ A E F$ 的面积为.

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三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.

(1)、计算： $4 \div | - 2 | - {(- 3)}^{3} \times \frac{1}{9}$

(2)、解方程： $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ .

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20. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的图象与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，与y轴分别交于C.

(1)、求点C的坐标；

(2)、求函数图象的对称轴；

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21. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 4)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (4 ， 3)$ .

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；并写出点 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，求扇形 $A O A_{1}$ 的面积（结果保留π）.

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22. 一个不透明的布袋里装有3个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率 $\frac{1}{2}$ .

(1)、布袋里红球有多少个?

(2)、先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率.

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23. 已知P是 $⊙ O$ 外一点， $P O$ 交 $⊙ O$ 于点C ， $O C = C P = 2$ ，弦 $A B ⊥ O C$ ， $∠ A O C = 60 °$ ，连接 $P B$ .

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线.

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24. 已知抛物线 $y = - x^{2} - b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点C ，与y轴交于点 $B (0 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点P为抛物线的对称轴上一动点，当 $△ P B C$ 的周长最小时，求点P的坐标；

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25. 【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活.
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙 $C D$ ， $A D$ 的距离分别是 $15 m$ 和 $6 m$ ，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用 $28 m$ 长的篱笆围成一个矩形花园 $A B C D$ （篱笆只围 $A B$ ， $B C$ 两边），设 $A B = x m$ .
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.
【解决问题】思路：把矩形 $A B C D$ 的面积S与边长x（即 $A B$ 的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可.

(1)、请用含有x的代数式表示 $B C$ 的长；

(2)、花园的面积能否为 $192 m^{2}$ ?若能，求出x的值，若不能，请说明理由；

(3)、求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大?

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26. 【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.
图1 图2
【动手操作】如图1， $A C$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线，点E是 $A C$ 上的一个动点，过点E和B作等腰直角 $△ E F G$ ，其中 $∠ F E G = 90 °$ ， $E F > A B$ ， $E G$ 与射线 $D C$ 交于点P.
请完成：

(1)、试判断图1中的 $∠ B E C$ 和 $∠ P E C$ 的数量关系；

(2)、当点P在线段 $D C$ 上时，求证： $E P = B E$ .

(3)、【类比操作】如图2，当点P在线段 $D C$ 的延长线上时. $E P = B E$ 是否还成立?请判断并证明你的结论.

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