【培优卷】浙教版数学八年级下册5.3 正方形

试卷更新日期：2024-01-24 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $A (0 ， 2)$ 和点 $D$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 、 $C$ 在第一象限，一次函数 $y = k x + 4$ 的图象交 $A D$ 、 $C D$ 分别于 $E$ 、 $F$ ．若 $△ D E F$ 与 $△ B C F$ 的面积比为 $1 ： 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $A D$ 上，若 $C E = 3 \sqrt{5}$ ，且 $∠ E C F = 45 °$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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3. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E ， PF⊥CD于点F ，连接EF ，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于 $\frac{1}{2} B D$ ．其中正确结论的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $E$ 在对角线 $B D$ 上，且 $∠ B A E = 22.5 °$ ， $E F ⊥ A B$ ，垂足为 $F$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2} - 4$ C、 $1$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 在菱形ABCD中，M ， N ， P ， Q分别为边AB ， BC ， CD ， DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD ，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形

正确的结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，已知点 $P (6 ， 2)$ ，点M，N分别是直线 $l_{1} ： y = x$ 和直线 $l_{2} ： y = \frac{1}{2} x$ 上的动点，连接 $P M$ ， $M N$ ． $P M + M N$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为对角线AC上一点，连接 $D E$ ，过点E作 $E F ⊥ D E$ ，交BC延长线于点F，以 $D E ， E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．在下列结论中：
① $E D = E F$ ；
② $A E = C G$ ；
③ $A E ⊥ C G$ ；
④ $∠ D E C = ∠ C F G$ ．
其中正确结论的个数是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

8. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上 $.$ 若 $A E = 2 \sqrt{10}$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，则 $A F$ 的长为．

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以 $△ A B C$ 的三边为边向外作正方形 $A C D E$ ，正方形 $C B G F$ ，正方形 $A H I B$ ，连接 $E C$ ， $C G$ ，作 $C P ⊥ C G$ 交 $H I$ 于点P ，记正方形 $A C D E$ 和正方形 $A H I B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 4$ ， $S_{2} = 7$ ，则 $S_{△ A C P}$ ： $S_{△ B C P}$ 等于．

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10. 如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有个

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11. 如图，正方形 $A B C D$ ，点E、F、G、H分别在边 $A B 、 B C 、 C D 、 D A$ 上，若 $E G$ 与 $F H$ 的夹角为 $45 °$ ， $A B = 2$ ， $F H = \sqrt{5}$ ，则 $E G$ 的长度为．

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A D = 4$ ， E是 $A D$ 中点，且 $∠ E B F = 45 °$ ，则线段 $E F$ 的长度是．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = A D$ ， $B C > C D$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，则以下结论：① $∠ A B C + ∠ C D A = 180 °$ ；② $∠ A C B = 45 °$ ；③ $A C = B D$ ；④ $B C + C D = \sqrt{2} A C$ ，其中正确的结论有.（填序号）

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三、解答题

14. 已知正方形 $A B C D$ ．

(1)、如图 $1$ 所示，若点 $E$ 在 $C D$ 的延长线上，以 $C E$ 为一边构造正方形 $C E F G$ ，连接 $B E$ 和 $D G$ ，则 $B E$ 与 $D G$ 的数量关系为，位置关系为．

(2)、如图 $2$ 所示，若 $E$ 是 $A D$ 边上的一个动点，以 $C E$ 为一边在 $C E$ 的右侧作正方形 $C E F G$ ，连接 $D G$ 和 $B E .$ 请判断线段 $B E$ 与 $D G$ 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、如图 $3$ 所示，在（2）的条件下，连接 $B G .$ 若 $A B = 3$ ， $A E = 1$ ，求线段 $B G$ 的长．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 上（与点 $A ， D$ 不重合），连接 $B E$ ．将线段 $B E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $E F$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A D$ ，交 $A D$ 延长线于点 $G$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、连接 $D F$ ，试判断 $D F$ 与 $G F$ 的数量关系，并证明．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点 $C$ 的直线 $M N / / A B$ ， $D$ 为 $A B$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，交直线 $M N$ 于点 $E$ ，垂足为 $F$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $C E = A D$ ；

(2)、当点 $D$ 是 $A B$ 的中点时，四边形 $B E C D$ 是什么特殊四边形？请说明你的理由；

(3)、请直接写出在 $(2)$ 的条件下，当 $∠ A =$ $°$ 时，四边形 $B E C D$ 是正方形．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 、点 $B$ 分别在 $x$ 轴与 $y$ 轴上，直线 $A B$ 的解析式为 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ ，以线段 $A B$ 、 $B C$ 为边作平行四边形 $A B C D$ ．

(1)、如图 $1$ ，若点 $C$ 的坐标为 $(3 ， 7)$ ，判断四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图 $2$ ，在 $(1)$ 的条件下， $P$ 为 $C D$ 边上的动点，点 $C$ 关于直线 $B P$ 的对称点是 $Q$ ，连接 $P Q$ ， $B Q$ ．
$①$ 当 $∠ C B P =$ ▲ $°$ 时，点 $Q$ 位于线段 $A D$ 的垂直平分线上；
$②$ 连接 $A Q$ ， $D Q$ ，设 $C P = x$ ，设 $P Q$ 的延长线交 $A D$ 边于点 $E$ ，当 $∠ A Q D = 90 °$ 时，求证： $Q E = D E$ ，并求出此时 $x$ 的值．

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四、综合题

18. 如图，已知直线y=kx+b与直线y=- $\frac{1}{2}$ x-9平行，且y=kx+b还过点（2，3），与y轴交于A点.

(1)、求A点坐标；

(2)、若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC= $\frac{1}{3}$ MP，MB= $\frac{1}{3}$ OM，OE= $\frac{1}{3}$ ON，ND= $\frac{1}{3}$ NP，试证：四边形BCDE是平行四边形；

(3)、在（2）的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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