【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册5.2 菱形

试卷更新日期：2024-01-23 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如果点A的坐标为 $(x_{A} ， y_{A})$ ，点B的坐标为 $(x_{B} ， y_{B})$ ，则线段AB中点坐标为 $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} ， \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ ．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 的顶点B的坐标为 $(10 ， 2)$ ，四边形 $A B D E$ 是菱形，D的坐标为 $(16 ， 10)$ ．若直线l把矩形 $O A B C$ 和菱形 $A B D E$ 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（）．

A、y=2x+11 B、y=-2x+12 C、 $y = \frac{5}{3} x - \frac{22}{3}$ D、 $y = - \frac{3}{4} x + \frac{15}{2}$

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B$ ，点M、N分别在边 $A D 、 B C$ 上，连接 $B M 、 D N$ ．若四边形 $M B N D$ 是菱形，则 $\frac{A B}{M D}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P ，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（　　）

A、2+2 $\sqrt{3}$ B、4 C、4 $\sqrt{3}$ D、6

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ D = 120 °$ 点M，N是对角线 $A C$ 上的三等分点，点P是菱形 $A B C D$ 边上的动点，则满足 $P M + P N = A B$ 的点P的个数有（）

A、2个 B、4个 C、8个 D、12个

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5. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为边 $A B$ 、 $C D$ 的中点， $B D$ 是对角线， $A G ∥ D B$ ，交 $C B$ 的延长线于 $G$ ，连接 $G F$ ，若 $A D ⊥ B D$ ．下列结论：① $D E ∥ B F$ ；②四边形 $B E D F$ 是菱形；③ $S_{△ B F G} = \frac{1}{4} S_{平行四边形 A B C D}$ ；④ $F G ⊥ A B$ ．其中正确的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、①③④

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6. 如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $A D > A B$ ， $∠ A B C$ 为钝角．要在对边 $B C$ ， $A D$ 上分别找点M，N，使四边形 $A B M N$ 为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则可得出结论（）

A、只有甲正确 B、只有乙正确 C、甲、乙都不正确 D、甲、乙都正确

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $C D$ 延长线上的一点，且 $C D = D E$ ，连接 $B E$ 分别交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ 、 $G$ ，连接 $O G$ ，则下列结论：（）

$① O G = \frac{1}{2} A B$ ；
$②$ 与 $△ E G D$ 全等的三角形共有 $2$ 个；
$③ S_{四边形 O D E G} = S_{四边形 A B O G}$ ；

$④$ 由点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 构成的四边形是菱形．

A、 $① ③ ④$ B、 $① ④$ C、 $① ② ③$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题

8. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $O$ 为 $A C$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别与 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，连接 $D E$ ， $B O .$ 若 $∠ C O B = 60 °$ ， $F O = F C$ ，则下列结论：

      $① F B ⊥ O C$ ；

      $② O M = C M$ ；

      $③ △ E O B$ ≌ $△ C M B$ ；

      $④$ 四边形 $E B F D$ 是菱形．

其中正确的结论有 $($ 填写所有正确结论的序号 $)$ ．

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $C D$ 延长线上一点，且 $C D = D E$ ，连接 $B E$ ，分别交 $A C$ 、 $A D$ 于点 $F$ 、点 $G$ ，连接 $O G$ 、 $A E$ ，则下列结论：

      $① O G = \frac{1}{2} A B$ ；

      $②$ 四边形 $A B D E$ 是菱形；

      $③$ 四边形 $O D E G$ 与四边形 $O B A G$ 面积相等．

其中正确的结论有个 $.$

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三、作图题

10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E在 $B C$ 边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．

(1)、如图1，在 $A D$ 上画点F，使四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、如图2，在 $C D$ 上画点K，使 $C K = C E$ ；

(3)、如图3，若点G在 $B D$ 上，在 $B D$ 上画点H，使四边形 $A G C H$ 是菱形．

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四、解答题

11. 在四边形 $A B C D$ 中， $B C = C D$ ，对角线 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ，点 $H$ 为 $C D$ 边上一点，连接 $B H$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $∠ A F H = ∠ B A C + ∠ B H C$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上， $B E = C F$ ， $A E$ 交 $B H$ 于点 $N$ ， $A L ⊥ B H$ 于点 $L$ ，若 $∠ A B C = 60 °$ ，求证： $A N = 2 N L$ ．

(3)、如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下， $H$ 为 $C D$ 的中点，点 $G$ 在 $B H$ 上，点 $M$ 在 $A E$ 上，连接 $A G$ ， $C M$ ， $A G = 5$ ， $C M = 2 \sqrt{5}$ ，若 $∠ A G B = 2 ∠ E M C$ ，求线段 $B H$ 的长，

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中 $A D ∥ B C$ ， $O$ 为对角线 $A C$ 的中点，过点 $O$ 作直线分别与边 $B C$ ， $A D$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，连接 $A E$ ， $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、当 $E F$ 平分 $∠ A E C$ 时，
①试说明四边形 $A E C F$ 是菱形；
②当四边形 $A B C D$ 是矩形时，若 $B C = 8$ ， $A C = 4 \sqrt{5}$ ，求 $E F$ 的长．

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13. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上的两个动点，分别从 $A$ ， $C$ 同时出发相向而行，速度均为 $1 c m / s$ ，运动时间为 $t$ 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．

(1)、若 $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $D C$ 中点，求证：四边形 $E G F H$ 始终是平行四边形．

(2)、在(1)条件下，当 $t$ 为何值时，四边形 $E G F H$ 为矩形．

(3)、若 $G$ ， $H$ 分别是折线 $A - B - C$ ， $C - D - A$ 上的动点，与 $E$ ， $F$ 相同的速度同时出发，当 $t$ 为何值时，四边形 $E G F H$ 为菱形．

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五、综合题

14. 如图 $1$ ，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 120 °$ ． $B (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $C (\sqrt{3} ， 0)$ ， $D (0 ， 3)$ ．

(1)、点 $A$ 坐标为，四边形 $A B O D$ 的面积为；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 在线段 $A C$ 上运动， $△ D E F$ 为等边三角形．
$①$ 求证： $A F = B E$ ，并求 $A F$ 的最小值；
$②$ 点 $E$ 在线段 $A C$ 上运动时，点 $F$ 的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点 $F$ 的横坐标 $.$ 若变化，请说明理由．

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15. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，分别延长 $A D$ ， $C D$ 到点E，F，使 $D E = A D$ ， $D F = C D$ ，连接 $A C ， A F ， E F ， E C$ ．

(1)、求证：四边形 $A C E F$ 是菱形；

(2)、连接 $B E$ ，如果四边形 $A C E F$ 的周长是 $4 \sqrt{5}$ ， $C F = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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16. 问题：如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 5$ ， $∠ D A B$ ， $∠ A B C$ 的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案： $E F = 2$ .
探究：

(1)、把“问题”中的条件“ $A B = 8$ ”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.

(2)、把“问题”中的条件“ $A B = 8$ ， $A D = 5$ ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{A D}{A B}$ 的值.

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，过点D作 $∠ A D C$ 的角平分线交 $A B$ 于点E，连接 $A C$ 交 $D E$ 于点O， $A D ∥ C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 是菱形；

(2)、若 $A D = 10$ ， $△ A C D$ 的周长为36，求菱形 $A E C D$ 的面积．

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