【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册5.1 矩形

试卷更新日期：2024-01-23 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $C D$ 上的点， $A E = C F$ ，连接 $E F$ 、 $B F$ ， $E F$ 与对角线 $A C$ 交于点 $O$ ，且 $B E = B F$ ， $∠ B E F = 2 ∠ B A C$ ， $F C = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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2. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点 $.$ 要使四边形 $E F G H$ 为矩形，可以添加的一个条件是（）

A、四边形 $A B C D$ 是矩形 B、 $A C$ 、 $B D$ 互相平分 C、 $A C = B D$ D、 $A C ⊥ B D$

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3. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D ， E分别AC ， AB的中点．连接DE ，并延长到点F ，使EF=EB ，过点F作FG⊥AB于点G ，连接DG并延长，交CB的延长线于点H ，连接FH ．给出以下四个结论：①∠FGH=∠CDG；②DE=GE；③ $\frac{E G}{D C} = \frac{F G}{C H}$ ；④四边形CDFH是矩形．其中正确结论的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 上一动点， $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于 $F$ ，点 $P$ 为 $E F$ 中点，则 $P D$ 的最小值为（）

A、 $2.4$ B、 $4.8$ C、 $6$ D、 $8$

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二、填空题

5. 如图，在矩形ABMN中，AN=1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC=2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF.当EF⊥AC时，AE的长为.

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为.

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7. 如图，点P是矩形 $A B C D$ 内任意一点，连结 $P A ， P B ， P C ， P D$ ，记 $∠ P A B = θ_{1} ， ∠ P B C = θ_{2} ， ∠ P C D = θ_{3} ， ∠ P D A = θ_{4}$ ，则下列各结论一定成立的有（填序号）
① $S_{△ P A D} + S_{△ P B C} = S_{△ P A B} + S_{△ P C D}$ ；②若 $∠ A P B = 80 ° ， ∠ D P C = 50 °$ ，则 $θ_{1} - θ_{2} + θ_{3} - θ_{4} = 50 °$ ；
③ $P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2}$ ；④ $S_{△ A B P} = S_{△ A D P}$ ，则P在对角线 $A C$ 上

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8. 如图 $1$ 是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型 $($ 如图 $2)$ ，过该造型的上下左侧五点作矩形 $A B C D$ ，使得 $\frac{A B}{B C} = \frac{3}{5}$ ，点 $N$ 为 $P Q$ 的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形 $E F G H$ 作为印章区域 $(E H / / A D ， H G / / C D)$ ，形成一幅装饰画，则矩形 $A B C D$ 的周长为 $c m .$ 若点 $M$ ， $N$ ， $E$ 在同一直线上，且点 $H$ 到 $A D$ 的距离与到 $C D$ 的距离相等，则印章区域的边长为 $c m$ ．

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9. 已知，矩形 $A B C D$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点， $F$ 为 $A B$ 上一点，连接 $E F$ ，若 $C D = 6$ ， $B C = 2$ ， $E F = \sqrt{5}$ ，则 $F B$ 的长为．

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三、解答题

10. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形，我们将这种宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形 $A B C D$ 的宽 $A B = 1$ ．

(1)、黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C =$ ；

(2)、如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以 $A B$ 为边的正方形 $A B E F$ ，得到新的矩形 $D C E F$ ，猜想矩形 $D C E F$ 是否为黄金矩形，并证明你的结论；

(3)、在图②中，连接 $A E$ ，求点 $D$ 到线段 $A E$ 的距离．

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11. 如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分 $∠ D E B$ ， F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作 $E H / / B C$ 分别交AF，CD于G，H两点．

(1)、求证： $D E = D C$ ；

(2)、求证： $A F ⊥ B F$ ；

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12. 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 上一动点，将线段 $C D$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $120 °$ 得到 $C E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求 $∠ C B E$ 的度数；

(2)、连接 $A E$ ，若 $A D = 4$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，求线段 $A E$ 的长；

(3)、如图 $2$ ，若 $A D = A C$ ， $B D = 2$ ，点 $M$ 为 $C D$ 中点， $A M$ 的延长线与 $B C$ 交于点 $P$ ，与 $B E$ 交于点 $N$ ，求线段 $B N$ 的长．

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四、综合题

13. 如图，在△ABC中，点P是边AC上一个动点，过点P作直线l∥AB. 设直线l交∠DAC的平分线于点M，交∠BAC的平分线于点N.

(1)、求证PM=PN；

(2)、若AN=2，AM=1，求MN的值；

(3)、当点P为AC的中点时，连接CM，CN，判断四边形ANCM的形状，并说明理由.

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14. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 是“等对角四边形”， $∠ A \neq ∠ C$ ， $∠ A = 65 °$ ， $∠ B = 80 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为 $°$ ．

(2)、如图2，“等对角四边形” $A B C D$ ，已知： $∠ A B C = ∠ A D C$ ， $B C = C D$ ，你认为 $A B = A D$ 成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．

(3)、在“等对角四边形” $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 7$ ， $A D = 5$ ．求对角线 $A C$ 的长．

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