【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线

试卷更新日期：2024-01-23 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， D、E分别为 $C A$ 、 $C B$ 的中点， $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $D E$ 于点F，若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、2 B、1 C、4 D、 $\frac{5}{2}$

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是三边的中点， $A F = 6 \sqrt{2}$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $6$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $12$

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3. 如图， $△ A B C$ 是锐角三角形， $E$ 是 $B C$ 的中点，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向外侧作等腰三角形 $A B M$ 和等腰三角形 $A C N$ ．点 $D$ ， $F$ 分别是底边 $B M$ ， $C N$ 的中点，连接 $D E$ ， $E F$ ，若 $∠ B A M = ∠ C A N = θ$ （是锐角），则 $∠ D E F$ 的度数是（）

A、 $180 - 2 θ$ B、 $180 - θ$ C、 $90 + 2 θ$ D、 $90 + θ$

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4. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 上的点，连接 $D N$ ， $E M$ ．若 $A B = 13$ cm， $B C = 10$ cm， $D E = 5$ cm，则图中阴影部分面积为（）

A、25cm² B、35cm² C、30cm² D、42cm²

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二、填空题

7. 在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折后点 $B$ 落到正方形 $A B C D$ 的内部点 $F$ ，连接 $B F$ 、 $C F$ 、 $D F$ ，如图，如果 $∠ B F C = 90 °$ ，那么 $D F =$ ．

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8. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，点N是 $B C$ 边上一点，点M为 $A B$ 边上的动点，点D、E分别为 $C N ， M N$ 的中点，则 $D E$ 的最小值是．

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，将 $△ D O C$ 沿着对角线 $A C$ 翻折得到 $△ E O C$ ，连接 $B E$ ．若 $B E = 2$ ， $O C = 5$ ， $B D = 6$ ，则 $O$ 到 $C D$ 的距离为．

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10. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，其中 $D ， E ， F$ 分别是 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 的中点，下列三个结论：①四边形 $B D E F$ 是平行四边形；② $△ D E F ≌ △ H F E$ ；③ $S_{△ D F H} + S_{△ H E C} = S_{△ B D F}$ ．其中正确的结论是．（填上相应的序号即可）

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A C$ 的中点， $D$ 在 $A B$ 上且 $A D = 2 B D$ ，连接 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，则 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{四边形 A D F E}} =$ ．

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三、解答题

13. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $A B$ ， $A C$ 边的中点．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(1)、方法一：证明：如图，延长 $D E$ 到点 $F$ ，使 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ， $D C$ ．

(2)、方法二：证明：如图，取 $B C$ 中点 $G$ ，连接 $G E$ 并延长到点 $F$ ，使 $E F = G E$ ，连接 $A F$ ．

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14. 如图 $1$ ， $△ A B C$ 为等边三角形，在 $A B$ 、 $A C$ 上分别取点 $E$ 、 $D$ ，使 $A E = A D$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等边三角形．

(2)、点 $M$ 、 $N$ 分别是 $B E$ 、 $C D$ 的中点，连接 $M N$ ，当 $△ A D E$ 绕 $A$ 点旋转到如图 $2$ 的位置时，求 $∠ M A N$ 的度数．

(3)、在(2)条件下，若 $∠ C A D = 30 °$ ， $A C = 14$ ， $D E = 4 \sqrt{3}$ ，求 $A N$ 的长．

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四、综合题

15.

(1)、课本再现
已知：如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
定理证明
证明：如图1，延长 $D E$ 至点 $F$ ，使得 $E F = D E$ ，连接 $C F$ ．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）

(2)、知识应用
如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $C D = 8$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A C D = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点，求 $E F$ 的长．

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16. 已知， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点C作 $C E ∥ D A$ ．

(1)、如图1， $D E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、P是线段 $A D$ 上一点（不与点A，D重合）， $P E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，交 $C E$ 于点E，连接 $A E$ ．
①如图2，四边形 $A B P E$ 是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长 $B P$ 交 $A C$ 于点Q，若 $B Q ⊥ A C$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ C A D = 30 °$ ，请直接写出 $\frac{A Q}{B C}$ 的值．

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17. 在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．

(1)、如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为 $\sqrt{5}$ ， DF＝2，求CD的长；

(2)、如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若 $D M = \sqrt{2} A B$ ，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；

(3)、如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且 $P Q = \sqrt{3}$ ，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．

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