【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.2 平行四边形

试卷更新日期：2024-01-23 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且E点在AD上．今大华在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC的面积大．判断下列哪一个图形可表示大华所取F点的位置？（　　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图， $4 \times 4$ 方格纸中小正方形的边长为1， $A$ ， $B$ 两点在格点上，要在图中格点上找到点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 的面积为2，满足条件的点 $C$ 有（）

A、无数个 B、7个 C、6个 D、5个

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3. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = 120 ° ， A D = 8 ， A B = 4$ ，点H、G分别是边 $C D ， B C$ 上的动点．连接 $A H 、 H G$ ，点E为 $A H$ 的中点，点F为 $G H$ 的中点，连接 $E F$ ．则 $E F$ 的最大值与最小值的差为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O ， AE平分∠BAD交BC于点E ，且
∠ADC=60° ， AB= $\frac{1}{2}$ BC ，连接OE.下列结论：①AE>CE；②S_▱_ABCD=AB·AC；③S_△_ABE=2S_△_AOE；④OE= $\frac{1}{4}$ AD ，其中成立的有 (　　)

A、1个　　　　 B、2个　　　　 C、3个　　　　 D、4个

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5. 如图，点 $P$ 是▱ $A B C D$ 内的任意一点，连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ ，得到 $△ P A B$ 、 $△ P B C$ 、 $△ P C D$ 、 $△ P D A$ ，设它们的面积分别是 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ ，给出如下结论中正确的是（）
$① S_{1} + S_{3} = S_{2} + S_{4}$ ； $②$ 如果 $S_{4} > S_{2}$ ，则 $S_{3} > S_{1}$ ； $③$ 若 $S_{3} = 2 S_{1}$ ，则 $S_{4} = 2 S_{2}$ ； $④$ 如果 $P$ 点在对角线 $B D$ 上，则 $S_{1}$ ： $S_{4} = S_{2}$ ： $S_{3}$ ； $⑤$ 若 $S_{1} - S_{2} = S_{3} - S_{4}$ ，则 $P$ 点一定在对角线 $B D$ 上.

A、 $① ③ ④$ B、 $② ③ ⑤$ C、 $① ④ ⑤$ D、 $② ④ ⑤$

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6. 在面积为 $6 \sqrt{21}$ 的平行四边形ABCD中，分别过点A作直线BC的垂线AE，垂足为E，作直线CD的垂线AF，垂足为F．若AB＝ $3 \sqrt{7}$ ， BC＝ $2 \sqrt{7}$ ，则CE+CF的值为（）

A、 $5 \sqrt{7} + 10$ B、 $5 \sqrt{7} - 10$ C、 $5 \sqrt{7} + 10$ 或 $2 + \sqrt{7}$ D、 $5 \sqrt{7} + 10$ 或 $5 \sqrt{7} - 10$

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7. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 75 °$ ， $A F ⊥ B C$ 于F， $A F$ 交 $B D$ 于E，若 $D E = 2 A B$ ，则 $∠ A E D$ 的大小是（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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8. 如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则▱ABCD的面积为（）

A、 $18 - 3 \sqrt{2}$ B、 $15 + 3 \sqrt{2}$ C、 $15 - 3 \sqrt{2}$ D、 $18 + 3 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 两条平行线间的距离公式
一般地；两条平行线l₁：Ax+By+C₁=0和l₂：Ax+By+C₂=0间的距离公式是d= $\frac{| C_{1} - C_{2} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 如：求：两条平行线x+3y﹣4=0和2x+6y﹣9=0的距离．
解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得2x+6y﹣8=0和2x+6y﹣9=0，因此，d= $\frac{| - 8 + 9 |}{\sqrt{2^{2} + 6^{2}}} = \frac{\sqrt{10}}{20}$ 两条平行线l₁：3x+4y=10和l₂：6x+8y﹣10=0的距离是．

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10. 在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $P$ 为 $▱ A B C D$ 外的一点，且 $O P = 8$ ．若点 $P$ 到 $▱ A B C D$ 边上的最短距离记为 $d$ ，当 $▱ A B C D$ 绕 $O$ 旋转时， $d$ 的取值范围是．

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11. 如图，已知 $▱ A B C D$ 中， $A B = B C = 8$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接 $O A$ ，则线段 $O A$ 的最小值是．

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12. 如图，等腰三角形纸片ABC中， $A D ⊥ B C$ 于点D ， $B C = 4$ ， $A D = 3$ ，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为.

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 、 $A D$ 上有两点 $E$ 、 $F$ ，沿着直线 $E F$ 折叠使得点 $D$ 、 $C$ 分别落在 $D^{'}$ 、 $C^{'}$ ， $D^{^{'}} C^{^{'}}$ 交线段 $A D$ 于点 $G$ ，射线 $D^{^{'}} C^{^{'}}$ 恰好经过点 $B$ ，作 $B H$ 平分 $∠ A B G$ 交 $A D$ 于 $H$ ， $H G = G F$ ，且 $H$ 恰好落在线段 $E C^{'}$ 的延长线上，若 $A B = \sqrt{5}$ ，则 $F$ 到直线 $D^{'} H$ 的距离是．

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三、作图题

14. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A E = C E$ ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）：

(1)、在图1中，作出 $∠ D A E$ 的角平分线；

(2)、在图2中，作出 $∠ A E C$ 的角平分线．

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四、解答题

15. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 和直线 $y = k x + b$ ，则点P到直线 $y = k x + b$ 的距离可用公式 $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ 计算．
例如：求点 $P (- 1 ， 2)$ 到直线 $y = 3 x + 7$ 的距离．
解：∵直线 $y = 3 x + 7$ ，其中 $k = 3$ ， $b = 7$ ．
∴点 $P (- 1 ， 2)$ 到直线 $y = 3 x + 7$ 的距离为： $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{| 3 \times (- 1) - 2 + 7 |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ．
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、求点 $Q (- 2 ， 2)$ 到直线 $l_{1}$ ： $y = - 2 x + 3$ 的距离；

(2)、直线 $l_{1}$ ： $y = - 2 x + 3$ 沿y轴向上平移2个单位得到直线 $l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 这两条平行直线之间的距离．

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16. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x + b$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = k x + 2$ 交于点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ ， $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的表达式；

(2)、点 $P$ 是 $y$ 轴上一点，点 $Q$ 是直线 $l_{1}$ 上一点，以点 $A$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，且 $A C / / P Q$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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17. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．

(1)、求证：∠OBE＝ $\frac{1}{2}$ ∠ADO；

(2)、若F、G分别是OD、AB的中点，且BC＝ $\sqrt{10}$ ，
①求证：△EFG是等腰三角形；

②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．

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五、综合题

18. 如图

如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上。

(1)、写出图1中面积相等的各对三角形：。

(2)、如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与△ABC的面积相等。

(3)、如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或BC的延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？

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19. 我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图1四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．

(1)、如图1，试说明直线AE是“好线”的理由；

(2)、如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并说明理由；

(3)、如图3，五边形ABCDE是一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但原块土地与开垦荒地的分界小路（折线CDE）还保留着，现在请你过E点修一条直路．要求直路左边的土地面积与原来一样多（只需对作图适当说明无需说明理由）

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 12 c m$ ， $B C = 6 c m$ ， $∠ A = 60 °$ ，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间 $(0 \leq t \leq 6)$ ．

(1)、当t为何值时，△PAQ是等边三角形．

(2)、当t为何值时，△PAQ为直角三角形．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B D C$ ，点E为 $B C$ 边上一点，连结 $A E$ 交对角线 $B D$ 于点F．

(1)、如图，若 $∠ A D B = 60 °$ ， $A E = 2 B E = 4$ ，求 $A B$ 的长度；

(2)、如图，若 $∠ A D B = 120 °$ ，点G，H为 $A E$ 边的两点，连接 $D G$ ， $D H$ ， $B G$ ，且满足 $∠ H D G = ∠ D G B = 60 °$ ．求证： $D G - B G = 2 D H$ ．

(3)、如图，若 $∠ A D B = 60 °$ ， $B D = 6$ ，将 $△ A D F$ 沿射线 $D B$ 方向平移，得到 $△ A^{'} D^{'} F^{'}$ ，连接 $A^{'} C$ ， $C D^{'}$ ，当 $C D^{'} + C A^{'}$ 的值最小时，请直接写出 $C D^{'} + C A^{'}$ 的最小值．

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22. 如图1，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD、CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F：

(1)、请说明AF与FC的大小关系，并说明理由

(2)、如图2，在AB边上取点M、N (点N在BM之间)使AM=5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=-2x+12，请分别求出AD，BN的长．

(3)、如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为(请直接写出答案)，

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