山东省青岛市黄岛区、胶州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-01-22 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $\sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、﹣ $\sqrt{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 如图是由边长为 $1 m$ 的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点 $A$ 滚动到点 $B$ ，则小球滚动的最短路程是（）

A、 $2 m$ B、 $4 m$ C、 $2 \sqrt{5} m$ D、 $5 m$

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3. 在平面直角坐标系内有一点P（x ， y），若点P位于第二象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为5，2，则点P的坐标是（　　）

A、（5，2） B、（2，5） C、（2，﹣5） D、（﹣2，5）

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4. 若一次函数y＝2x﹣b的图象经过点（0，﹣3），则下列各点在该一次函数图象上的是（　　）

A、（2，1） B、（2，3） C、（﹣1，1） D、（1，5）

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5. 下列说法正确的是（　　）

A、0.2是0.4的算术平方根 B、﹣5是25的平方根 C、 $\sqrt{81}$ 的算术平方根是9 D、16的平方根是4

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6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，其中点A ， B ， C的对应点分别为点A'，B'，C'，若点P（2，3）在△ABC的边上，则点P在△A'B'C'上的对应点P'的坐标是（　　）

A、（3，2） B、（﹣2，3） C、（2，﹣3） D、（﹣2，﹣3）

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7. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A、50.5寸 B、52寸 C、101寸 D、104寸

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8. 对于一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（　　）

A、y随x的增大而增大 B、函数图象与y轴的交点位于x轴下方 C、k﹣b＜0 D、k+b＞0

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9. $\sqrt[3]{- 27}$ 的相反数是．

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10. 已知一次函数y＝kx+3（k≠0），其函数值y随x值的增大而增大．当x＝﹣2时，函数值y可以是（请写出一个你认为正确的即可）．

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11. 如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是．

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12. 已知一次函数y＝ax﹣5的图象经过点A（﹣4，3），则关于x的一元一次方程ax﹣5＝3的解为．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ C D A = 90 °$ ，分别以四边形 $A B C D$ 的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4}$ ．若 $S_{1} = 6 ， S_{2} = 10 ， S_{3} = 12$ ，则 $S_{4}$ 的值为．

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14. 在同一直角坐标系中，直线 $y_{1} = 3 x + 1$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点，直线 $y_{2} = k x + b$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $C ， D$ 两点．若 $A B ∥ C D$ ，点 $D$ 在点 $B$ 的下方，并且 $B D = 6$ ，则直线 $y_{2}$ 的表达式为．

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15. 如图，在直角坐标系中，长方形OABC的顶点A ， C分别在x轴，y轴上，点A ， C的坐标分别为（﹣7，0），（0，4）．E为边BC上一点，点D的坐标为（﹣5，0），若△ODE是腰长为5的等腰三角形，则点E的坐标是．

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16. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 $S = N + \frac{1}{2} L - 1$ ，其中 $N ， L$ 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 $A (0 ， 8) ， B (4 ， 4)$ ，则 $△ A O B$ 内部的格点个数是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算

(1)、 $3 \sqrt{8} - \sqrt{32}$

(2)、 $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

(3)、 $(\sqrt{24} + \sqrt{\frac{1}{6}}) \div \sqrt{3}$

(4)、 $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 1$

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18. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的一部分，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A ， B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，3），B（0，﹣1）．
⑴根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
⑵有一颗黑色棋子C的坐标为（2，2），请标注出黑色棋子C的位置．

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19. 把下列各数写入相应的集合中： $- \frac{1}{7}$ ， 2.5， $(\sqrt{\frac{4}{5}})^{2}$ ， $\sqrt[3]{9}$ ， 0， $\frac{π}{2}$ ， $- \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ， 0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）．

(1)、有理数集合：{ …}；

(2)、无理数集合：{ …}．

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20. 党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 12 m ， B C = 9 m ， A D = 17 m ， C D = 8 m$ ．

(1)、为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点 $A$ 直通点 $C$ 的小路，求小路 $A C$ 的长度；

(2)、若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？

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21. 我们知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{5} < 3$ ，所以 $\sqrt{5}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ．
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、 $\sqrt{34}$ 整数部分是，小数部分是；

(2)、如果 $\sqrt{11}$ 的整数部分为 $a ， \sqrt{17}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $12 a + 7 b$ 的立方根；

(3)、已知 $9 - \sqrt{7} = x - y$ ，其中 $x$ 是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $x + y$ 的值．

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22. 在平面直角坐标系中，A ， B两点的坐标分别是A（0，a），B（0，b），且 $\sqrt{a + 6}$ +|12﹣b|＝0．

(1)、求b﹣a的平方根；

(2)、若在x轴的正半轴上有一点C ，且△ABC的面积是27，求点C的坐标；

(3)、过（2）中的点C作直线MN∥y轴，在直线MN上是否存在点D ，使得△ACD的面积是△ABC面积的 $\frac{1}{9}$ ？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，一次函数y₁＝ax+b的图象与y轴负半轴相交于点A ，与正比例函数y₂＝kx的图象交于点B（﹣8，6），且 $O A = \frac{1}{2} O B$ ．

(1)、求正比例函数与一次函数的表达式；

(2)、请直接写出当y₁＞y₂时，x的取值范围．

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24. 通过小学的学习我们知道，在水平面上推或拉一个物体时，在物体和水平面之间会产生阻碍物体运动的力、像这样的力是摩擦力．小明利用如图1所示的装置测量在不同重量下某木块与木板之间的摩擦力．在木块上放置砝码，缓慢向左拉动水平放置的木板，当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时，弹簧秤的示数即为木块受到的摩擦力的大小．小明进行了六次实验，并将实验所得数据制成如表：
砝码的质量m/g
0
50
100
150
200
250
滑动摩擦力f/N
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8

(1)、请在图2的平面直角坐标系内，描出六次测量的有序数对（m ， f）所对应的六个点；

(2)、这些点是否在一条直线上？如果是，请确定f与m的关系式；如果不是，请说明理由；

(3)、在某次实验中，测得木块受到的摩擦力为4.2N ，则此时砝码的质量是多少？

(4)、在实验过程中，当砝码的质量为100g～800g时，请直接写出木块受到的摩擦力的最大值和最小值分别为多少？

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砝码的质量m/g	0	50	100	150	200	250
滑动摩擦力f/N	1.8	2.0	2.2	2.4	2.6	2.8