山东省青岛市莱西市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-22 类型：期中考试

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一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）

1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $6 a^{2} b^{2} = 3 a b \cdot 2 a b$ B、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ C、 $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ D、 $x^{2} - x - 4 = x (x - 1) - 2$

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2. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）

A、 $- a^{2} + 2 a b - b^{2}$ B、 $m^{2} + n^{2}$ C、 $- m^{2} - n^{2}$ D、 $- a^{2} b + a b^{2}$

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3. 化简 $\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}$ 结果正确的是（）

A、 $x$ B、1 C、 $\frac{x + 2}{x}$ D、 $\frac{1}{x}$

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4. 分式 $\frac{(x + 2) (x + 3)}{x^{2} - 4}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、2或 $- 2$ B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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5. 下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{n}{m} = \frac{n - a}{m - a}$ B、 $\frac{y}{x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$ C、 $\frac{- a - b}{- a + b} = \frac{a - b}{a + b}$ D、 $\frac{n}{m} = \frac{n a}{m a} (a \neq 0)$

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6. 在“传唱红色经典，弘扬爱国棈神”，比赛中，七位评委给某选手打出7个原始分．如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下5个有效分的平均值作为这位选手的最后得分，则7个原始分和5个有效分这两组分数相比较，一定不会发生改变的是（）

A、方差 B、极差 C、中位数 D、平均数

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7. 某中学八年级有21名同学参加了“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，他们的初赛成绩各不相同，要取前10名同学参加决赛，其中小智同学已经知道了自己的初赛成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这21名同学成绩的（）

A、中位数 B、众数 C、平均数 D、方差

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8. 某校九年级参加了“维护小区周边环境”、“维护繁华街道卫生”、“义务指路”等志愿者活动，如图是根据该校九年级六个班的同学某天“义务指路”总人次所绘制的折线统计图，则关于这六个数据中（）
九年级六班的同学某天“义务指路”总人数折线统计图

A、极差是40 B、众数是58 C、中位数是51.5 D、平均数是60

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9. 甲、乙两地相距m千米，高速列车原计划每小时行驶x千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（）

A、 $\frac{m}{50}$ 小时 B、 $(\frac{m}{50} - \frac{m}{x})$ 小时 C、 $(\frac{m}{x - 50} - \frac{m}{x})$ 小时 D、 $(\frac{m}{x} - \frac{m}{x - 50})$ 小时

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10. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2} = (a + 2 b) (a + b)$ ．若已知 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 45 ， a b + b c + a c = 38$ ，由图2所表示的数学等式，则 $a + b + c$ 的值为（）

A、12 B、11 C、10 D、9

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二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）

11. 因式分解： $x (x - 1) + 4 (x - 1) =$ ．

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12. 化简： $\frac{10 a^{2} b}{5 a b} =$ ．

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13. 计算： $10 2^{2} - 102 \times 98 =$ ．

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14. 在一次数学测验中，甲班有 $a$ 个人，平均分是 $m$ 分，乙班有 $b$ 个人，平均分是 $n$ 分，则这两个班的总平均成绩为分．

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15. 某公司决定招聘一名职员，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目
创新能力
专业知识
语言表达
测试成绩（分）
70
80
92
这三项成绩按照如图所示的比例确定综合成绩，则该应聘者最后的得分为分．

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16. 某班四个学习兴趣小组的学生分布如图①②，现通过对四个小组学生寒假期间所读课外书情况进行调查，并制成各小组读书情况的条形统计图③，根据统计图中的信息：这四个小组平均每人读书的本数是本．

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三、解答题（本题满分72分，共9道小题）

17. 因式分解

(1)、 $25 - 16 x^{2}$

(2)、 $a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2}$

(3)、 ${(x + y)}^{2} + 6 (x + y) + 9$

(4)、 ${(a^{2} + 9)}^{2} - 36 a^{2}$

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18. 分式计算

(1)、 $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) + \frac{x - 4}{x}$

(2)、 $\frac{y}{x^{2} - y^{2}} \div (1 - \frac{x}{x + y})$

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19. 解方程

(1)、 $\frac{5 x + 2}{x^{2} + x} = \frac{3}{x + 1}$

(2)、 $1 - \frac{x - 3}{2 x + 2} = \frac{3 x}{x + 1}$

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20. 化简求值
先化简： $(\frac{3}{a + 1} - a + 1) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1}$ ，并从 $0 ， - 1 ， 2$ 中透一个合适的数作为 $a$ 的值代入求值．

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21. 如图， $A$ 玉米试验田是半径为 $R m$ 的圆去掉宽为 $1 m$ 的出水沟后剩下的部分， $B$ 玉米试验田是半经为 $R m$ 的圆中间去掉半经为 $1 m$ 的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了 $450 k g$ ．

(1)、哪块试验田的单位面积产量高？

(2)、高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

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22. 随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯．由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调查送餐员的送餐收入，现从该平合随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
送餐距离 $x$ （千米）
$0 < x \leq 1$
$1 < x \leq 2$
$2 < x \leq 3$
$3 < x \leq 4$
$4 < x \leq 5$
数量（份）
12
20
24
16
8

(1)、设这80名点外卖的用户送餐距离的中位数为 $m$ （千米），则 $m$ 的取值范围是 ▲ ；

A、 $1 < x \leq 2$ B、 $2 < x \leq 3$ C、 $3 < x \leq 4$ D、 $4 < x \leq 5$

(2)、以这80名点外卖用户的送餐距离为研究对象，同一组数据取该小组数据的中间值（例如小组 $1 < x \leq 2$ 的中间值是1.5），计算这80名点餐用户的平均送餐距离．

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23. 某校想了解初三年级1000名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位： $m i n$ ）
男生：20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40
女生：75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90
统计数据，并制作了如下统计表：
时间 $x$
$x \leq 30$
$30 < x \leq 60$
$60 < x \leq 90$
$90 < x \leq 120$
男生
2
8
8
2
女生
1
$m$
12
3
分析数据，两组数据的极差、平均数、中位数、众数如下表所示：

极差
平均数
中位数
众数
男生
$a$
65.75
65
90
女生
90
$b$
75
$c$

(1)、填空： $m =$ ， $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在 $90 m i n$ 以上的同学约有多少人？

(3)、王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．

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24. 下图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两名同学列的方程：

嘉淇家到学校的路程是 $38 k m$ ，嘉淇从家去学校需要先乘公交车，下车后再走 $2 k m$ 才能到学校，所用总时间是 $1 h$ ．已知公交车的速度是嘉淇步行速度的9倍，求公交车的速度和嘉淇的步行速度．（不考虑公交车停车的时间和等车的时间）

甲： $\frac{38 - 2}{9 x} + \frac{2}{x} = 1$ ；乙： $\frac{38 - 2}{1 - y} = 9 \times \frac{2}{y}$

根据以上信息，解答下列问题．

(1)、甲同学所列方程中的

x

表示；乙同学所列方程中的

y

表示；

(2)、请你从两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．

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25. 某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程以每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，稆余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．

(1)、求乙工程队单独完成该工程所需的天数；

(2)、若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？

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四、附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）

26. 大小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案．
方案一：设备的 $\frac{1}{2}$ 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆．
方案二：设备的 $\frac{1}{3}$ 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆．
方案三：设备的 $\frac{2}{3}$ 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆．
若方案一中大小货车恰好装满，求：

(1)、每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？

(2)、如果大货车运费比小货车高 $m % (m > 0)$ ，请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由．

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测试项目	创新能力	专业知识	语言表达
测试成绩（分）	70	80	92

送餐距离 $x$ （千米）	$0 < x \leq 1$	$1 < x \leq 2$	$2 < x \leq 3$	$3 < x \leq 4$	$4 < x \leq 5$
数量（份）	12	20	24	16	8

时间 $x$	$x \leq 30$	$30 < x \leq 60$	$60 < x \leq 90$	$90 < x \leq 120$
男生	2	8	8	2
女生	1	$m$	12	3

	极差	平均数	中位数	众数
男生	$a$	65.75	65	90
女生	90	$b$	75	$c$