山西省太原市小店区多校联考2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷

试卷更新日期：2024-01-22 类型：月考试卷

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一、单选题（共10题；共30分）

1. 方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{2} = - 1$ ， $x_{2} = - 3$

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2. 如图所示，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ 则 $A C$ 等于（）

A、3 B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、6

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4. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送出1035张照片，如果全班有 $x$ 名同学，根据题意，列出方程为（）

A、 $x (x + 1) = 1035$ B、 $x (x - 1) = 2070$ C、 $x (x - 1) = 1035$ D、 $2 x (x + 1) = 1035$

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5. 已知平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $A B = B C$ 当时， $A B C D$ 是菱形 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $A B C D$ 是菱形 C、 $O A = O B$ 当时， $A B C D$ 是矩形 D、当 $∠ A B D = ∠ C B D$ 时， $A B C D$ 是矩形

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6. 在一个不透明的盒子中，红色、白色、黑色的球共有40个，除颜色外其他完全相同，老师在课堂上组织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，则盒子中黑色球的个数可能是（　　）.

A、16 B、18 C、20 D、22

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7. 如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A、当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形 B、当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C、当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形 D、当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

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8. 关于 $x$ 的方程 $(a - 5) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 满足（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 1$ 且 $a \neq 5$ C、 $a \geq 1$ 且 $a \neq 5$ D、 $a \neq 5$

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9. 若 $a b > 0$ ，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ 在同一坐标系中的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，中线 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ，连接 $D E$ ，下列结论：① $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ ；② $\frac{S_{△ D O B}}{S_{△ C O B}} = \frac{1}{2}$ ；③ $\frac{A D}{A B} = \frac{O E}{O B}$ ；④ $\frac{S_{△ O D B}}{S_{△ B D C}} = \frac{1}{3}$ ．其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（共5题；15分）

11. 如图，小明沿倾斜角为 $30 °$ 的山坡从山脚步行到山顶，共走了200米，则山的高度为米．

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12. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．

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13. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则△AEB与△CED的面积比为．

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14. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴的正半轴上，点 $D (- 2 ， 3)$ ， $A D = 5$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题

16.

(1)、用适当的方法解方程： $x^{2} - 2 x = 4$ ；

(2)、用适当的方法解方程： $2 x (x - 3) = 3 - x$

(3)、计算： $(\sqrt{2} + 1)^{0} - 2^{- 1} - \sqrt{2} t a n 45 ° + | - \sqrt{2} |$

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17. $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)、在网格内画出和 $△ A B C$ 以点 $O$ 为位似中心的位似图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，且 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A B C$ 的位似比为 $2 ： 1$ ；

(2)、分别写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ ， $C_{1}$ 三个点的坐标： $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为．

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18. 太原是国家历史文化名城，有很多旅游的好去处，周末哥哥计划带弟弟出去玩，放假前他收集了太原动物园、晋祠公园、森林公园、汾河湿地公园四个景点的旅游宣传卡片，这些卡片的大小、形状及背面完全相同，分别用D，J，S，F表示，如图所示，请用列表或画树状图的方法，求下列事件发生的概率．

动物园晋祠公园

森林公园汾河湿地公园

(1)、把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟从中随机抽取一张，作好记录后，将卡片放回洗匀，哥哥再抽取一张，求两人抽到同一景点的概率；

(2)、把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟和哥哥从中各随机抽取一张（不放回），求两人抽到动物园和森林公园的概率．

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19. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．

(1)、求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；

(2)、进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤，为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤，求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？

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20. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

从正方形的一个顶点引出夹角为 $45 °$ 的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：

如图1，在正方形 $A B C D$ 中，以 $A$ 为顶点的 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 、 $A F$ 与 $B C$ 、 $C D$ 边分别交于 $E$ 、 $F$ 两点．易证得： $E F = B E + F D$ ．

大致证明思路：如图2，将 $△ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A B H$ ，由 $∠ H B E = 180 °$ 可得 $H$ 、 $B$ 、 $E$ 三点共线， $∠ H A E = ∠ E A F = 45 °$ ，进而可证明 $△ A E H ≌ △ A E F$ ，故 $E F = B E + D F$ ．

任务：

如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，以 $A$ 为顶点的 $∠ E A F = 60 °$ ， $A E$ 、 $A F$ 与 $B C$ 、 $C D$ 边分别交于 $E$ 、 $F$ 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 $E F = B E + D F$ 是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

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21. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1： $\sqrt{3}$ （斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB=10米，AE=15米.

(1)、求点B到地面的距离；

(2)、求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）

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22. 综合与实践：如图（1），已知点E为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一动点（不与点C重合），连接 $B E$ ．

(1)、实践与操作：在图中，画出以点B为旋转中心，将线段 $B E$ 逆时针旋转 $90 °$ 的线段 $B F$ ，并且连接 $A F$ ．

(2)、观察与猜想：
观察图（1），猜想并推理可以得到以下结论：
结论1， $A F$ 和 $C E$ 之间的位置关系是；
结论2， $A F$ 和 $C E$ 之间的数量关系是．

(3)、探究与发现：
①如图（2），若点E在 $C A$ 延长线上时，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由．
②如图（2），若 $A E = 1$ ， $A F = 6$ ，请直接写出 $A B$ 的长．

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23. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (- 2 ， m)$ ， $B (4 ， - 2)$ 两点，与 $x$ 轴交于 $C$ 点，过 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴于 $D$ ．

(1)、求这两个函数的解析式；

(2)、求 $△ A D C$ 的面积；

(3)、根据图象直接写出不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

(4)、在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使 $△ A B P$ 的面积为9，求点 $P$ 的坐标

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