吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-01-22 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 16的算术平方根是 $($ $)$

A、4 B、-4 C、±4 D、8

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2. 实数 $- \frac{1}{3}$ ， $0$ ， $\sqrt{5}$ ， $3.14$ 中，无理数是（　）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $0$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $3.14$

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3. 某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛20次，落地后正面朝上12次，反面朝上8次，下列说法正确的是（）

A、出现正面的频率是12 B、出现正面的频率是8 C、出现正面的频率是 $40 %$ D、出现正面的频率是 $60 %$

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4. 下列计算正确的是（）

A、a³·a⁴=a¹² B、(2a)²=2a² C、(a³)²=a⁹ D、(-2×10²)³=-8×10⁶

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5. 如图，要测量池塘两岸相对的两点 $A$ ， $B$ 间的距离，小明在池塘外取 $A B$ 的垂线 $B F$ 上的点 $C$ ， $D$ ，使 $B C = C D$ ．再画出 $B F$ 的垂线 $D E$ ，使 $E$ 与 $A$ ， $C$ 在一条直线上，这时测得 $D E$ 的长就是 $A B$ 的长．依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A S A$ D、 $H L$

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6. 如图，在数轴上，点 $A$ 表示实数3， $A B$ 垂直数轴于点 $A ， A B = 2$ ，连接 $O B$ ，以 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径作弧，交数轴于点 $C$ ，则点 $C$ 表示的实数是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $3.5$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{14}$

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（）

A、3 B、10 C、15 D、30

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8. 如图，阴影部分表示以 $R t △ A B C$ 的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．若 $S_{1} + S_{2} = 7 ， A C = 3$ ，则 $B C$ 长是（）

A、 $3.5$ B、 $\frac{14}{3}$ C、4 D、5

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二、填空题（每小题3分，共18分）

9. 分解因式： $a^{2} - a b$ = ．

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10. 若a+b=6，ab=7，则 $a^{2} b + a b^{2} =$ .

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11. 已知 $1 1^{3} = 1331 ， 1 2^{3} = 1728 ， 1 3^{3} = 2197 ， 1 4^{3} = 2744$ ．若 $n$ 为整数，且 $n < \sqrt[3]{2023} < n + 1$ 则 $n =$ ．

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12. 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）

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13. 如图，已知P、Q是 $△$ ABC的边BC上的两点，且BP=QC=PQ=AP=AQ，则∠BAC=

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14. 人们很早就发现直角三角形的三边 $a ， b ， c$ 满足的关系 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有．（直接填写图序号）

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三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{9} + \sqrt[3]{- 8} + \frac{3}{2}$ ；

(2)、 $5 a^{3} {(- a^{2})}^{2} \div a^{5}$ ；

(3)、 $(x - 1) (3 x + 2)$ ．

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16. 分解因式：

(1)、 $x^{3} - x$ ；

(2)、 $a b^{2} - 4 a b + 4 a$ ．

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17. 先化简，再求值：（2a+b）²﹣（2a+3b）（2a﹣3b），其中a＝ $\frac{1}{2}$ ，b＝﹣2．

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18. 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“ $<$ ”号连接起来：
$2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$ ， $- \frac{π}{2}$ ， $0$ ， $- 1.6$

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19. 已知：线段 $A B$ 及射线 $A M$ ．
求作：等腰 $△ A B C$ ，使得点C在射线 $A M$ 上．
作法一：如图1，以点B为圆心， $B A$ 长为半径作弧，交射线 $A M$ 于点C（不与点A重合），连接 $B C$ ．
作法二：如图2．
①在 $A B$ 上取一点D ，以点A为圆心， $A D$ 长为半径作弧，交射线 $A M$ 于点E ，连接 $D E$ ；
②以点B为圆心， $A D$ 长为半径作弧，交线段 $B A$ 于点F；
③以点F为圆心， $D E$ 长为半径作弧，交前弧于点G；
④作射线 $B G$ 交射线 $A M$ 于点C ．
作法三：如图3，
①分别以点A ， B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P ， Q；
②作直线 $P Q$ ，交射线 $A M$ 于点C ，连接 $B C$ ．根据以上三种作法，填空：
由作法一可知： ▲ ，
∴ $△ A B C$ 是等腰三角形．
由作法二可知： $∠$ ▲ $= ∠ B A M$ ，
∴ $C A = C B$ （）（填推理依据）．
∴ $△ A B C$ 是等腰三角形．
由作法三可知； $P Q$ 是线段 $A B$ 的 ▲ ．
∴ $C A = C B$ （）（填推理依据）．
∴ $△ A B C$ 是等腰三角形．

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20. 如图，点 $B$ 、点 $F$ 、点 $C 、$ 点 $E$ 在一条直线上， $A B = D E ， ∠ B = ∠ E ， B F = C E$ ．求证： $A C = D F ， A C ∥ D F$ ．

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21. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》确定信息科技成为义务教育新科目，科技兴趣小组选择国内外四个优质AI学习平台：“英荔AI魔法家（简称魔法家）”、“谷歌实验室（简称实验室）”、“Machine Learning for Kids（简称MLK）”、“Cognimates”，并对学生进行介绍和体验，在校内随机抽取了m名学生，调查了大家对这四种平台的喜爱情况（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），将调查结果进行整理，绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、求m的值．

(2)、补全条形统计图．

(3)、求扇形统计图中表示喜欢“谷歌实验室”学习平台的扇形的圆心角度数．

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22. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题：

(1)、在网格中画 $△ A B C$ ，使 $△ A B C$ 的三个顶点都在小正方形的格点上， $A B 、 B C 、 A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{2} ， \sqrt{8} ， \sqrt{10}$ ．

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

(3)、求作点 $P$ ，使 $B P = C P$ ，且点 $P$ 到 $B A 、 B C$ 的距离相等．（保留作图痕迹）

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23. 【教材呈现】教材P49-复习题13题：

已知 $a - b = 1 ， a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．

【例题讲解】

小亮探究出解题方法如下：

已知 $a - b = 1 ， a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．

已知 $a - b = 1 ， a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 ${(a + b)}^{2}$ 的值．

$∵ (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ $∴ 2 a b = a^{2} + b^{2} - (a - b)^{2}$

$∵ a - b = 1 ， a^{2} + b^{2} = 25$ ，

$∴ 2 a b = 25 - 1^{2} = 24$

$∴ a b = 12$

【方法运用】

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、小亮发现，借助原题的条件还可以求出

{(a + b)}^{2}

的值，请你帮助小亮完成解答过程．

(2)、若

x + y = 1 ， x y = - \frac{3}{4}

．则

x^{2} + y^{2} =

，

(x - y)^{2} =

；

(3)、【拓展提升】如图，以

R t △ A B C

的直角边

A B ， B C

为边作正方形

A B D E

和正方形

B C F G

．若

△ A B C

的面积为5，正方形

A B D E

和正方形

B C F G

面积和为36，直接写出

A G

的长．

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24.

(1)、【问题背景】教材阅读材料告诉我们，全等三角形的三个基本事实是进行演绎推理的重要依据．它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换（轴对称、平移与旋转）而相互重合．
利用动态的全等三角形定义，上图中的两个三角形可以看作通过轴对称变换得到的全等的是，可以看作通过平移变换得到的全等的是，可以看作通过旋转变换得到的全等的是．（填序号即可）

(2)、【问题呈现】在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C ， D$ 为边 $B C$ 上一点（不与 $B 、 C$ 重合），连接 $A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 于点 $E$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $H$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ C H$ 延长线于点 $F$ ，点 $G$ 为 $A B$ 中点，连接 $F G$ ．

求证： $△ A E C ≌ △ C F B$ ；

(3)、若将（1）中两个全等三角形看作动态变化的两个三角形，那么其中一个三角形可以看作是由另一个三角形通过图形的基本变换而相互重合（填：“轴对称”、“平移”或“旋转”），简述变换的主要过程（包含变换的基本要素）；

(4)、直接写出 $A E 、 B F$ 和 $F G$ 之间的数量关系．

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