吉林省长春市九台区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-01-22 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）

1. 8的立方根是（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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2. 计算 $a^{3} \cdot {(a^{3})}^{2}$ 的结果是（）

A、 $a^{8}$ B、 $a^{9}$ C、 $a^{11}$ D、 $a^{18}$

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3. 面积为 $9 a^{2} - 6 a b + 3 a$ 的长方形一边长为 $3 a ，$ 另一边长为（）

A、 $3 a - 2 b + 1$ B、 $2 a - 3 b$ C、 $2 a - 3 b + 1$ D、 $3 a - 2 b$

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4. 直角三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足 $\sqrt{a - 3}$ +|b﹣4|＝0，则此三角形的第三长为（　　）

A、5 B、25 C、 $\sqrt{7}$ D、5或 $\sqrt{7}$

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5. 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为 $Δ A B C$ ，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）

A、 $A B ， B C ， C A$ B、 $A B ， B C ， ∠ B$ C、 $A B ， A C ， ∠ B$ D、 $∠ A ， ∠ B ， B C$

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7. 在 $△ A B C$ 中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断 $A B$ 与 $A C$ 大小关系的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 4 ， B C = 6$ ，将 $△ A B C$ 折叠，使点C与 $A B$ 的中点D重合，折痕交 $A C$ 于点M，交 $B C$ 于点N，则线段 $C N$ 的长为（）.

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、 $\frac{10}{3}$

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二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）

9. 若 $(x + a) (x + b) = x^{2} + 4 x + 3$ ，则 $a + b$ 的值为．

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10. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是．

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11. 如图，点P是 $∠ A O C$ 的角平分线上一点， $P D ⊥ O A$ ，垂足为点D，且 $P D = 3$ ，点M是射线 $O C$ 上一动点，则 $P M$ 的最小值为．

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12. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是．

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝cm.

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14. 如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为

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三、解答题（本大题共78分）

15. 先化简，再求值： $(x + 5)^{2} - (x - 2) (x + 2)$ ，其中 $x = - 2$

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16. 已知 $a^{x} \cdot a^{y} = a^{5}$ ， $a^{x} \div a^{y} = a$ ，求 $x^{2} - y^{2}$ 的值.

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17. 图①、图②、图③都是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点． $A 、 B$ 均在格点上，按下列要求画图：

(1)、在图①中，以格点为顶点，画以 $A B$ 为底边的等腰 $△ A B C$ ；

(2)、在图②中，以格点为顶点，画出以 $A B$ 为腰的等腰 $△ A B D$ ；

(3)、在图③中，以格点为顶点，画出以 $A B$ 为腰的等腰 $△ A B E$ ，并且所画的 $△ A B E$ 与图②中所画的 $△ A B D$ 不全等．

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18. 阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．

(1)、利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a²x+a²y+b²x+b²y ．

(2)、因式分解：a²+2ab+b²﹣1＝（直接写出结果）．

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19. 小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．
根据图中信息，解答下列问题：

(1)、这5期的集训共有多少天？

(2)、小明参加集训第期时成绩最好，此期集训的天数是天，最好成绩为秒；

(3)、哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？

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20. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F ，若 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ， $A B = A D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A D E$ ；

(2)、若 $∠ A D B = 50 °$ ， $∠ D A C = 15 °$ ，求∠E的度数．

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21. 党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 12 m ， B C = 9 m ， A D = 17 m ， C D = 8 m$ ．

(1)、为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点 $A$ 直通点 $C$ 的小路，求小路 $A C$ 的长度；

(2)、若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？

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22.

(1)、如图1，已知：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，过点D作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A B$ 、 $A C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，则图中共有个等腰三角形； $E F$ 与 $B E$ 、 $C F$ 之间的数量关系是， $△ A E F$ 的周长是．

(2)、如图2，若将（1）中“ $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ”改为“ $A B \neq A C$ ”其余条件不变，则 $E F$ 与 $B E$ 、 $C F$ 之间的数量关系？证明你的结论．

(3)、已知：如图3， $D$ 在 $△ A B C$ 外， $A B > A C$ ，且 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $C D$ 平分 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C G$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，则 $E F$ 与 $B E$ 、 $C F$ 之间又有何数量关系．

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23. 阅读下列材料：
我们把形如 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：把二次三项式 $x^{2} + 2 x - 4$ 进行配方．
$x^{2} + 2 x - 4 = (x^{2} + 2 x + 1) - 5 = {(x + 1)}^{2} - 5$

(1)、【直接应用】把二次三项式 $x^{2} - 4 x + 5$ 配方；

(2)、代数式 $x^{2} - 2 x + 3$ 的最小值为；

(3)、【类比应用】已知 $M = a^{2} - a ， N = a - 2$ （ $a$ 为任意实数），则 $M$ 与 $N$ 的大小关系是 $M$ $N$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）

(4)、当 $a 、 b 、 c$ 分别为 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 a - 10 b - 8 c + 50 = 0$ ，判断此时 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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24. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C = A C = 6 c m$ ，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为 $2 c m / s$ ，点N的速度为 $3 c m / s$ ，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为 $t (t > 0)$ 秒．

(1)、当点M在 $A C$ 上时， $C M =$ $c m$ ；当点M在 $C B$ 上时， $C M =$ $c m$ （用含t的代数式表示）．

(2)、点N在 $C B$ 上时，若 $△ A M N$ 为直角三角形，求t的值．

(3)、连结 $M N$ ，当 $△ A B C$ 的对称轴垂直平分线段 $M N$ 时，直接写出t的值．

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