吉林省长春新区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-01-22 类型：期末考试

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一、选择题：（每小题3分，共24分）

1. 计算 $x^{3} \cdot x^{2}$ 的结果是（　）

A、 $x^{6}$ B、 $x^{5}$ C、 $x^{2}$ D、 $x$

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2. 估算 $\sqrt{14} + 2$ 的值是在（）

A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间

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3. 已知下图中的两个三角形全等，则 $∠ α$ 等于（）

A、 $72 °$ B、 $58 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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4. 下列可以作为命题“若 $x > y$ ，则 $x^{2} > y^{2}$ ”是假命题的反例是（）

A、 $x = - 2$ ， $y = - 1$ B、 $x = 2$ ， $y = - 1$ C、 $x = - 1$ ， $y = - 2$ D、 $x = 2$ ， $y = 1$

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5. 如图，从边长为 $a$ 的正方形中去掉一个边长为 $b$ 的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）

A、 $a^{2} + a b = a (a + b)$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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6. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $B D = 5$ ， $A B = 4$ ，则 $D$ 到 $B C$ 的距离是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，已知 $∠ A O B$ ，用尺规以 $O B$ 为一边在 $∠ A O B$ 的外部作 $∠ C O B = ∠ A O B$ ．对于弧 $P Q$ ，下列说法正确的是（）

A、以点M为圆心， $O M$ 的长为半径 B、以点N为圆心， $M N$ 的长为半径 C、以点O为圆心， $O M$ 的长为半径 D、以点N为圆心， $O N$ 的长为半径

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8. 如图，数轴上点 $A$ 表示的数为 $- 1$ ， $R t △ A B C$ 的直角边 $A B$ 落在数轴上，且 $A B$ 长为3个单位长度， $B C$ 长为1个单位长度，若以点 $A$ 为圆心，以斜边 $A C$ 长为半径画弧交数轴于点 $D$ ，则点 $D$ 表示的数为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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二、填空题：（每题3分，共18分）

9. 分解因式： $a x - a y =$ ．

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10. 小明在纸上写下一组数字“ $20231027$ ”这组数字中2出现的频数为．

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11. 如图，已知 $A B ∥ C F$ ， E为 $D F$ 的中点，若 $A B = 9 ， B D = 4$ ，则 $C F =$ ．

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12. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．

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13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D ，交AC于点E ．则∠EBC＝．

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14. 如图，等腰Rt $△$ ABC中，∠ABC=90°，O是 $△$ ABC内一点，OA=6，OB= $4 \sqrt{2}$ ， OC=10， $O^{'}$ 为 $△$ ABC外一点，且 $△$ CBO≌ $△$ AB $O^{'}$ ，则四边形 $A O^{'} B O$ 的面积为．

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三、解答题（共78分）：

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{9} + \sqrt[3]{- 8} + | 1 - \sqrt{3} |$

(2)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 3 a) \div 3 a$ ．

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16. 先化简，再求值： ${(a + b)}^{2} + b (a - b) - 3 a b$ ，其中 $a = 2 ， b = 2023$

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17. 已知 $a^{x} = 2 ， a^{y} = 3$ ，则 $a^{x + y}$ 和 $a^{2 x - 3 y}$ 的值．

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18. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．

(1)、在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；

(2)、在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于D ，点E在 $A B$ 上且 $D E ∥ A C$ ，求证： $A E = D E$ ．

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20. 如图， $A C = D C$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点， $E C = B C$ ，并且 $∠ 1 = ∠ 2$

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E C$ ；

(2)、若 $∠ B = 75 °$ ，则 $∠ 3$ ＝．

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21. 某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等.2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）；图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图．
该品牌月销售额统计表（单位：万元）
月份
1月
2月
3月
4月
5月
该品牌月销售额
180
90
115
95

(1)、若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用统计图；

(2)、该品牌5月份的销售额是万元，手机部5月份的销售额是万元；

(3)、对于该品牌手机部6月份的进货，你有什么建议？

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22. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足 $B C$ $⊥ C D$ ，现测得 $A B = C D = 6$ dm， $B C = 3$ dm， $A D = 9$ dm，其中 $A B$ 与 $B D$ 之间由一个固定为90°的零件连接（即 $∠ A B D = 90 °$ ），通过计算说明该车是否符合安全标准．

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23. 如图，已知 $∠ D C E$ 与 $∠ A O B$ ， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ．

(1)、如图1， $∠ D C E$ 与 $∠ A O B$ 的两边分别相交于点D、E ， $∠ A O B = ∠ D C E = 90 °$ ，试判断线段 $C D$ 与 $C E$ 的数量关系，并说明理由．
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解： $C D = C E$ ．
理由如下：如图1，过点C作 $C F ⊥ O C$ ，交 $O B$ 于点F ，则 $∠ O C F = 90 °$ ，
请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．

(2)、若 $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ D C E = 60 °$ ．
①如图3， $∠ D C E$ 与 $∠ A O B$ 的两边分别相交于点D、E时，写出线段 $O D$ 、 $O E$ 、 $O C$ 的数量关系；
②如图4， $∠ D C E$ 的一边与 $A O$ 的延长线相交时，写出线段 $O D$ 、 $O E$ 、 $O C$ 的数量关系；
若 $O D ： O C = 2 ： 5$ ， $△ O C D$ 的面积为a ，则 $△ O C E$ 的面积＝（用含a的代数式表示）．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿射线 $A C$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、 $A C =$ ．

(2)、若点 $P$ 在 $∠ A B C$ 的角平分线上，求 $△ B C P$ 的面积．

(3)、当 $B P = 4$ 时，求 $t$ 的值．

(4)、当 $△ A B P$ 是等腰三角形时，直接写出 $t$ 的值．

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月份	1月	2月	3月	4月	5月
该品牌月销售额	180	90	115	95