重庆市缙云教育联盟2023-2024学年八年级上学期1月期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 分式方程 $\frac{1}{3 x} = \frac{1}{2 x} + 2$ 的解为（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{12}$ C、 $x = \frac{1}{12}$ D、 $x = - 12$

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2. 下列变形属于因式分解的是（）

A、4x+x＝5x B、（x+2）²＝x²+4x+4 C、x²+x+1＝x（x+1）+1 D、x²﹣3x＝x（x﹣3）

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3. 分式方程 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x - 2}$ 的解为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - \frac{2}{3}$ D、 $x = \frac{2}{3}$

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4. △ABC中，∠A= $\frac{1}{3}$ ∠B= $\frac{1}{4}$ ∠C，则△ABC是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、都有可能

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5. 如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°，若B，C，D三点在一条直线上，则∠A的大小是（　　）

A、148° B、78° C、68° D、50°

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6. 下列各分式中是最简分式的是（）

A、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ B、 $\frac{4}{2 x}$ C、 $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ D、 $\frac{x - 1}{1 - x}$

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7. 如图，在△ABC中，AB＝AC ， BD平分∠ABC交AC于D ， AE∥BD交CB延长线于点E ，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（　　）

A、50° B、70° C、75° D、80°

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8. 设 $x$ 为正整数，则存在正整数 $a$ 和 $b$ ，使得 $\frac{1 + b - 2 a}{a^{2} - b} = x$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别为（）.

A、 $x + 2$ ， $x^{2} + 3 x + 3$ B、 $x + 2$ ， $x^{2} + 2 x + 2$ C、 $x - 2$ ， $x^{2} - 3 x + 3$ D、 $x + 1$ ， $x^{2} + x + 1$

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9. 已知|x|=5，|y|=2，且|x+y|=﹣x﹣y，则x﹣y的值为（）

A、±3 B、±3或±7 C、﹣3或7 D、﹣3或﹣7

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10. 折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着 $E F$ 进行第一次折叠，使得 $C$ ， $D$ 两点落在 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ 的位置，再将纸条沿着 $G F$ 折叠（ $G F$ 与 $B C$ 在同一直线上），使得 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ 分别落在 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ 的位置．若 $3 ∠ E F B = ∠ E F C_{2}$ ，则 $∠ G E F$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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二、填空题

11. 如图，要从村庄P修一条连接公路 $l$ 的最短的小道，应选择沿线段修建，理由是．

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12. 计算 ${(- 0.2)}^{2021} \times 5^{2021}$ 的结果是．

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13. 已知 $x - 3 y = 0$ ，则 $\frac{2 x + y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} \cdot (x - y)$ 的值为．

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14. 若方程 $\frac{x}{x - 8} = 2 + \frac{m}{x - 8}$ 有增根，则 $m =$ ．

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15. 如图， $C A ⊥ B C$ ，垂足为C ， $A C = 3 cm$ ， $B C = 9 cm$ ，射线 $B M ⊥ B Q$ ，垂足为B ，动点P从C点出发以 $1 cm / s$ 的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足 $P N = A B$ ，随着P点运动而运动，当点P运动秒时， $△ B C A$ 与点P、N、B为顶点的三角形全等．

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16. 如图，现有边长分别为 $a$ 和 $3 (a > 3)$ 的正方形纸片，以及长、宽分别为 $x ， y$ 的长方形，其中 $x - y = 2$ ．将两正方形纸片按图1和图2两种方式（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠）放置于长方形中，其中未被覆盖的部分用阴影表示．若图1中阴影部分的面积记为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分的面积记为 $S_{2}$ ．则 $S_{2} - S_{1} =$ ．

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17. 若关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x - m}{2} > 0 \\ x - 3 < 3 (x - 3) \end{matrix}$ 的解集为 $x ＞ 3$ ，且关于y的分式方程 $5 - \frac{m}{y - 2} = \frac{1 - y}{2 - y}$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是．

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18. 已知 $|a| = 6$ ， $b^{2} = 16$ ，且 $a b$ ＜ $0$ ，则 $a + 2 b$ 的值是.

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三、解答题

19.

(1)、计算： $(2 x y^{2} － 3 x y) \cdot 2 x y$

(2)、先化简，再求值： $(x - 2) (2 x + 2) - x (x - 2)$ ，其中 $x = - 2$ ．

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20. 如图，已知， $A B = A C$ ，点D、E分别在 $A C$ 、 $A B$ 上，且 $A E = A D$ ， $∠ B = ∠ C$ ，连接 $E C$ ， $B D$ 、 $E C$ 交 $B D$ 于点M、连接 $A M$ ．

(1)、求证： $△ E B M ≌ △ D C M$ ；

(2)、嘉琪说：“若 $S_{△ B E M} = S_{△ A D M}$ ，则E是 $A B$ 的中点”，请你运用所学知识判断嘉琪的说法是否正确，若正确，给出证明；若不正确，说出理由．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点D ．

(1)、用尺规完成以下基本作图：作 $A D$ 的垂直平分线分别与 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ 交于点E、点F、点H ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）所作的图形中，连接 $D E$ 、 $D F$ ，完成下面证明 $H E = H F$ 的过程．
证明：∵ $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点D ，
∴ $∠ B A D =$    ▲    ．
∵ $E F$ 垂直平分 $A D$ ，
∴ $∠ A H F = ∠ D H E = 90 °$ ， $A H =$    ▲    ，    ▲    ，
∴ $∠ B A D = ∠ A D E$ ，
∴ $∠ C A D = ∠ A D E$ ，
∴ $△ A H F ≌$     ▲    $(ASA)$ ．
∴ $H E = H F$ ．

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22. 我们约定：若关于 $x$ 的整式 $A = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $B = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足： $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + {(b_{2} + b_{1})}^{2} + |c_{2} - a_{1}| = 0$ ， ${(b_{1} - b_{2})}^{2023} \neq 0$ ，则称整式A与整式 $B$ 互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于 $x$ 的整式 $A = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $B = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”整式，求k ， m ， n的值．

(2)、若关于x的整式 $M = (x + a)^{2}$ ， $N = x^{2} - 2 x + b$ （a ， b为常数），M与 $N$ 互为“美美与共”整式，且 $x + a$ 是 $x^{3} - 3 x + c$ 的一个因式，求 $a - b + c$ 的值；

(3)、若 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) + 1 = {(x^{2} + r x + s)}^{2}$ ，且关于 $y$ 的方程 $\frac{y + 1}{y - 2} = \frac{t y}{y - 2} - 3$ 的解为正整数，求 $P = r x^{2} + t x + s$ 的“美美与共”整式 $Q$ ，并求出 $Q$ 的最小值．

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23. 对于整数a、b定义运算： $a ※ b = (a^{b})^{m} + (b^{a})^{n}$ （其中m、n为常数），如 $3 ※ 2 = (3^{2})^{m} + (2^{3})^{n}$ ．

(1)、填空：当 $m = 1$ ， $n = 2023$ 时， $2 ※ (1) =$ ；

(2)、若 $1 ※ 4 = 10$ ， $2 ※ 2 = 15$ ，求 $4^{2 m + n - 1}$ 的值．

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24. 已知， $M N ∥ P Q$ ，直线 $A B$ 交 $M N$ 于点 $A$ ，交 $P Q$ 于点 $B$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，过 $C$ 作射线 $C E$ 、 $C F$ 分别交直线 $M N$ 、 $P Q$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、如图1，当 $C E ⊥ C F$ 时，求 $∠ A E C + ∠ B F C$ 的度数；

(2)、如图2，若 $∠ M E C$ 和 $∠ P F T$ 的角平分线交于点 $G$ ，求 $∠ E C F$ 和 $∠ G$ 的数量关系；

(3)、如图3，在（2）的基础上，当 $C E ⊥ C F$ ，且 $∠ A B P = 60 °$ ， $∠ A C E = 20 °$ 时，射线 $F T$ 绕点 $F$ 以 $5 °$ 每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为 $t$ 秒，当射线 $F G$ 与 $△ A E C$ 的一边互相平行时，请直接写出 $t$ 的值．

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