人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.2相似三角形

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，点A在 $D E$ 上， $∠ B E A = ∠ B A C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ B E A$ 的平分线交 $A B$ 于M ，交 $B C$ 于P ，连接 $P D$ 交 $A C$ 于点N ，以下四个结论：① $E D = E B + C D$ ；② $B P = P C$ ；③四边形 $A M P N$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的一半；④ $A D \cdot A M = A N \cdot A E$ ．一定正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别是 $B C 、 D C$ 边上的两点，且 $∠ E A F = 45 ° ， A E 、 A F$ 分别交 $B D$ 于 $M 、 N$ ．对于下列结论：
① $△ A B N ∽ △ M D A$ ；② $A M \cdot A E = A N \cdot A F$ ；③ $\frac{S_{△ A M N}}{S_{△ A E F}} = \frac{1}{2}$ ；④当 $A B = 1$ 时， $△ A E F$ 面积的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ ．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①②③④

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3. 如图，已知二次函数 $y = - \frac{5}{4} (x + 1) (x - 4)$ 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 $y$ 轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则 $\frac{A P}{P K}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、2 C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在 $△ A B C$ 的边上， $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{3}$ ， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ，点 $M$ 是 $D F$ 的中点，连接 $C M$ 并延长交 $A B$ 于点 $N$ ， $\frac{M N}{C M}$ 的值是（）.

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{7}$

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5. 如图，把菱形 $A B C D$ 向平移至 $D C E F$ 的位置，作 $E G ⊥ A B$ ，垂足为 $G ， E G$ 与 $C D$ 相交于点 $M ， G D$ 的延长线交 $E F$ 于点 $H$ ，连接 $D E$ ，则下列结论：① $D G = D E$ ；② $∠ D H E = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ；③ $E F + F H = 2 M C$ ；④ $△ C D E ∽ △ D E H$ ，则正确的结论有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，M是正方形 $A B C D$ 的 $B C$ 边上中点，点E、F分别在 $A B 、 C D$ 边上，且 $E M ⊥ F M$ ． ① $△ B E M ∽ △ C M F$ ， ② $E M$ 是 $B E 、 E F$ 的比例中项，③ $F M$ 平分 $∠ E F C$ ， ④ $B C^{2} = B E \cdot C F$ ．上述四个判断中正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $△ B P C$ 是等边三角形， $B P$ 、 $C P$ 的延长线分别交 $A D$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B D$ 、 $D P$ ， $B D$ 与 $C F$ 相交于点 $H$ ，给出下列结论：① $∠ D P C = 75 °$ ；② $C F = 2 A E$ ；③ $\frac{D F}{B C} = \frac{2}{3}$ ；④ $△ F P D ∽ △ P H B$ ；⑤ $A F^{2} = E F \cdot E B$ ．其中正确结论的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x ， ∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α＝60°，则AD的最大值为 $2 \sqrt{7}$ ；
②若α＝60°，△ABC∽△CBD ，则OD的长为 $2 \sqrt{3}$ ；
③若α＝45°，BC与OD相交于E ，则点E不一定是△ABD的重心；
④若△ABC∽△BCD ，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（）

A、①③ B、①②④ C、③④ D、①③④

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9. 如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ +2或5 B、 $\sqrt{5}$ +3或6 C、 $\sqrt{5}$ +3或5 D、 $\sqrt{5}$ +2或6

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10. 如图，矩形ABCD中， $A B = 8 c m$ ， $A D = 6 c m$ ， EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（）

A、 $\frac{15}{4} c m$ B、5cm C、 $\frac{15}{2} c m$ D、8cm

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二、填空题

11. 如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB=.

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12. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{\circ ，} A C = 3 B C = 6 B D = 2$ ，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为⊙B上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足 $C F = \frac{1}{2} C E$ ，连结BF，当点E与点D重合时，BF的值为，点E在⊙B上运动过程中，BF存在最大值为．

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13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE：BF＝2：1，连接AF和DE交于点G ，连接CG ，则CG的最小值是．

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14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为

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15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，AF⊥BC于点F，BH⊥AC于点H.交AF于点G，点D在直线AF上运动，BD＝DE，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，当AE取最小值时，BE的长为.

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三、解答题

16. 如图1， $△ A B C$ 内接于圆 $O ， A B$ 为直径，点 $C$ 在 $A B$ 的上方，且 $∠ C A B > ∠ B$ ．连结 $O C ， C G$ 是 $A B$ 边上的高，过点 $O$ 作 $D E ⊥ O C$ 交 $C G$ 的延长线于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ A C G = ∠ B C O$ ．

(2)、当 $O E = O D$ 时，求 $\frac{O G}{O C}$ 的值．

(3)、如图2，取 $B C$ 的中点 $Q$ ，连结 $O Q$ ．
①若 $A B = 10$ ，在点 $C$ 运动的过程中，当四边形 $C G O Q$ 的其中一边长是 $O Q$ 的2倍时，求所有满足条件的 $O G$ 的长．
②连结 $D B$ ，当 $△ C O Q$ 的面积是 $△ B O E$ 的面积的2倍时，则 $t a n ∠ O B D =$ ▲ （请直接写出答案）

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17. 如图所示， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ .点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A B$ 边向 $B$ 以1cm/s的速度移动，点 $Q$ 从 $B$ 点开始沿 $B C$ 边向点 $C$ 以2cm/s的速度移动. $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $B$ 同时出发.

(1)、经过几秒， $P$ 、 $Q$ 间的距离等于6cm？

(2)、线段 $P Q$ 能否将 $△ A B C$ 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.

(3)、几秒时， $△ P B Q$ 与 $△ A B C$ 相似？

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18. 如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O于点C ，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D ，连接AC ．

(1)、求证：AC为⊙O的切线；

(2)、若⊙O半径为3，OD＝5．求线段AD的长．

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19. 如图，AD是ΔABC的外角∠EAC的平分线，与ΔABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F.

(1)、求证： $B D = C D .$

(2)、若 $∠ B A C = 6 0^{\circ} ，$ BC＝3．当AF将ΔABD的面积分为1：2两部分时，求ΔADF与ΔBCF的面积比值.

(3)、将C点关于AD的对称点记为点C＇，当 $B C^{'} = \sqrt{3}$ BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由.

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20. 在矩形ABCD中，点E为AB边上一动点（不与点A ， B重合），连接CE ，过点E作EF⊥CE ．连接AC、AF、CF ， CF与EF分别交AD于点G ， H ．

(1)、如图1，当矩形ABCD为正方形时，且EF＝CE ．求证：△BCE∽△ACF；

(2)、在（1）的条件下，且点E为AB的中点，求 $\frac{G H}{D G}$ 的值；

(3)、如图2，已知：AB＝8，BC＝6， $\frac{E F}{C E} = \frac{4}{3}$ ，连接CF交AD于G ， EF与AD交于H ，若FG＝FH ，求BE的长度．

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