人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.1图形的相似

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 将一张 $▱ A B C D$ （ $A D < A B < 2 A D$ ）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来 $▱ A B C D$ 相似，则 $▱ A B C D$ 的相邻两边 $A D$ 与 $A B$ 的比值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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2. 如图，E，F，G，H分别是矩形 $A B C D$ 四条边上的点，连接 $E F ， G H$ 相交于点I，且 $G H ∥ A D$ ， $E F ∥ A B$ ，矩形 $B F I G ∽$ 矩形 $E I H D$ ，连接 $A C$ 交 $G H ， E F$ 于点P，Q，下列一定能求出 $△ D P Q$ 面积的条件是（）

A、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I H D$ 的面积之差 B、矩形 $A B C D$ 与矩形 $B F I G$ 的面积之差 C、矩形 $B F I G$ 和矩形 $F C H I$ 的面积之差 D、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I G A$ 的面积之差

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3. 如图， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 是正方形 $A B C D$ 边上的点，且 $A G = B E = C H = D F$ ， $E F$ 和 $G H$ 将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形 $M Q P N$ ，若正方形 $A B C D$ 和四边形 $M Q P N$ 的面积之比为 $9 ： 10$ ，则 $A G ： G D =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 如图，点P是平行四边形 $A B C D$ 内部一点，过P分别作 $A B$ 和 $B C$ 的平行线交平行四边形 $A B C D$ 的四边于 $E ， F ， G ， H$ . 连结 $A C$ 分别交 $E G ， F H$ 于M和N. 若四边形 $F B G P ~$ 四边形 $E P H D$ ，且四边形 $F B C H$ 的面积是四边形 $A F P \overset{'}{E}$ 的3倍. 下列选项正确的是（　　）

A、 $E P = P H$ B、 $A N = E P$ C、 $A N = 2 M N$ D、 $A M = 2 C M$

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5. 如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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6. 如图，P为反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A，B．若∠AOB=135°，则k的值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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7. 下列说法不一定正确的是（　　）

A、所有的等边三角形都相似 B、所有的等腰直角三角形都相似 C、所有的菱形都相似 D、所有的正方形都相似

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8. 如图，BD是 $▱ A B C D$ 的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（　　）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{2}$ 或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ 或 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3} - 1$

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9. 要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形(如图②) ，需要如图①的菱形的个数是（）．

A、11个 B、121个 C、22个 D、242 个

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10. 若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为 $8 c m$ ，则剩下的小矩形的较短边长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{5} - 8$ C、 $4 \sqrt{5} - 4$ D、 $12 - 4 \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $\frac{A E}{B E} (A E < B E)$ 的值为.

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12. 如图所示，复印纸的型号有A₀ ， A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A₃）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A₄）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为．

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13. 如图，正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂；正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的6条对角线又围成一个正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃…；如此继续下去，则六边形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面积是.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8$ ， $t a n A = \frac{3}{4}$ ，点M ， N分别在 $A C ， B C$ 边上，将 $△ A B C$ 沿直线 $M N$ 翻折，点C恰好落在边 $A B$ 上，记为点 $C_{1}$ ，如果 $△ C_{1} M N$ 与 $△ A B C$ 相似，那么折痕 $M N$ 的长为．

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15. 某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大.如图，已知原来博物馆的平面图是 $▱ A B C D$ ，规划后博物馆的平面图是四边形 $E F G H$ ，其中点A，B，C，D分别是边 $E F ， F G ， G H ， H E$ 的中点.如果原来博物馆的平面图 $▱ A B C D$ 的面积为 ${300m}^{2}$ ，则规划后博物馆的平面图 $E F G H$ 占地面积为 $m^{2}$ .

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三、解答题

16. 如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.

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17. 如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

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18.
如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是多少？

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19.
八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：

（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；
（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC= $\sqrt{2}$ ，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．

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20.
如图，A_n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A₁纸对裁后可以得到两张A₂纸，A₂纸对裁后可以得到两张A₃纸，…，A_n纸对裁后可以得到两张A_n+1纸．
（1）填空：A₁纸面积是A₂纸面积的几倍，A₂纸周长是A₄纸周长的几倍；
（2）根据A_n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A₁纸张的重量为a克，试求出A₈纸张的重量．（用含a的代数式表示）

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