【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 设a、b为x²+x﹣2011=0的两个实根，则a³+a²+3a+2014b=（）

A、2014 B、﹣2014 C、2011 D、﹣2011

查看试题解析
2. 一元二次方程 $M ： a x^{2} + b x + c = 0 ； N ： c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中 $a c \neq 0 ， a \neq c$ ，给出以下四个结论：(1)若方程 $M$ 有两个不相等的实数根，则方程 $N$ 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 $M$ 的两根符号相同，则方程 $N$ 的两根符号也相同；(3)若 $m$ 是方程 $M$ 的一个根，则 $\frac{1}{m}$ 是方程 $N$ 的一个根；(4)若方程 $M$ 和方程 $N$ 有一个相同的根，则这个根必是 $x = 1$ .其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
3. 若关于x的一元二次方程x²﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a²﹣ab+b²=18，则 $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ 的值是（）

A、3 B、﹣3 C、5 D、﹣5

查看试题解析
4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于 $y$ 的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ${(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} \geq 2$ ；③ $- 1 \leq 2 m - 2 n \leq 1$ ，其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

查看试题解析
5. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析

二、填空题

6. 已知关于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b²－4ac≥0；②若方程ax²＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax²＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是． (填写序号)

查看试题解析
7. 设x₁ ， x₂是一元二次方程x²+5x﹣3=0的两根，且2x₁（x₂²+6x₂﹣3）+a=4，则a= ．

查看试题解析
8. 已知实数 $α$ ， $β$ 满足 $2 α^{2} + 5 α - 2 = 0$ ， $2 β^{2} - 5 β - 2 = 0$ ，且 $α β \neq 1$ ，且 $\frac{1}{β^{2}} + \frac{α}{β} - \frac{5}{2} α$ 的值为．

查看试题解析
9. 已知三个均不为0且互不相等的实数m ， n ， p ，满足 $\frac{p}{m} = m + 6$ ， $\frac{p}{n} = n + 6$ .请解决下列问题：

(1)、当 $p = 2$ 时， $m + n =$ ；

(2)、当 $p > 0$ 时， $\frac{m^{2} + n^{2} - 36}{p} =$ .

查看试题解析

三、综合题

10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0$ .

(1)、求证： $k$ 取任何实数，方程总有实数根；

(2)、若直角三角形 $A B C$ 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求 $k$ 的值.

查看试题解析
11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} + k + 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、试求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若此方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $| x_{1} | + | x_{2} | = 2$ ，试求 $k$ 的值．

查看试题解析
12. 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²-2（n-1）x+n²-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)、当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

(3)、当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

查看试题解析
13. 已知 $△ A B C$ 的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (n - 1) x + n^{2} - 2 n = 0$ 的两个根，第三边BC的长是10.

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)、当n为何值时， $△ A B C$ 为等腰三角形？并求 $△ A B C$ 的周长.

(3)、当n为何值时， $△ A B C$ 是以BC为斜边的直角三角形？

查看试题解析
14. 定义：若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，分别以 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $M (x_{1} ， x_{2})$ ，则称点 $M$ 为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为 $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 2 m = 0$ ．

(1)、求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、求衍生点M的轨迹的解析式；

(3)、若无论k $(k \neq 0)$ 为何值，关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的衍生点M始终在直线 $y = k x - 2 (k - 2)$ 的图象上，求b与c满足的关系．

查看试题解析
15. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 $i^{2} = - 1$ ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 $a + b i$ （ $a$ ， $b$ 为实数）， $a$ 叫做这个复数的实部， $b$ 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 $x^{2} = - 1$ ，解得： $x_{1} = i$ ， $x_{2} = - i$ ．同样我们也可以化简 $\sqrt{- 4} = \sqrt{4 \times (- 1)} = \sqrt{2^{2} \times i^{2}} = 2 i$ ．读完这段文字，请你解答以下问题：

(1)、填空： $i^{3} =$ ， $i^{4} =$ ， $i^{2} + i^{3} + i^{4} + \cdot \cdot \cdot + i^{2021} =$ ．

(2)、已知 $(a + i) (b + i) = 1 - 3 i$ ，写出一个以 $a$ ， $b$ 的值为解的一元二次方程．

(3)、在复数范围内解方程： $x^{2} - 4 x + 8 = 0$ ．

查看试题解析
16. 已知方程x²+bx+a＝0①，和方程ax²+bx+1＝0②（a≠0）.

(1)、若方程①的根为x₁＝2，x₂＝3，求方程②的根；

(2)、当方程①有一根为x＝r时，求证x＝ $\frac{1}{r}$ 是方程②的根；

(3)、若a²b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求 $\frac{m s}{n t}$ 的值.

查看试题解析
17. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为 $t$ ，则另一个根为 $2 t$ ，因此 $a x^{2} + b x + c = a (x - t) (x - 2 t) = a x^{2} - 3 a t x + 2 t^{2} a$ ，所以有 $b^{2} - \frac{9}{2} a c = 0$ ；我们记“ $K = b^{2} - \frac{9}{2} a c$ ”即 $K = 0$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：

(1)、方程① $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ；方程② $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ；方程③ $x^{2} + x = - \frac{2}{9}$ 这几个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；

(2)、若 $(x - 1) (m x - n) = 0$ 是倍根方程，则 $\frac{2 n}{m}$ 的值为；

查看试题解析