上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1. 过点 $P (0 ， 1)$ 且与直线 $x + y = 0$ 平行的直线的方程为.

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为.

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3. 以 $A (0 ， - 1) ， B (2 ， 1)$ 为直径端点的圆的标准方程为.

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4. 若 $\vec{n} = (2 ， - 1)$ 是直线 $l$ 的一个法向量，则直线 $l$ 的倾斜角为.

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5. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $A C = B D = 2$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，若 $M ， N$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，则 $M N =$ .

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6. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，则该正四棱锥的表面积为.

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7. 已知 $b \in R$ ，若圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上恰有四个点到直线 $y = x + b$ 的距离为1，则 $b$ 的取值范围是.

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8. 过点 $P (1 ， 1)$ 且与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 的夹角大小为 $a r c c o s \frac{\sqrt{5}}{5}$ 的直线的一般方程为.

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9. 已知异面直线 $a ， b$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，若过空间一点 $P$ 有且仅有两条直线与 $a ， b$ 所成角的大小均为 $θ$ ，则 $θ$ 的取值范围是.

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10. 已知 $k$ 为正实数，设直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k$ ，直线 $l_{2}$ 的斜率为 $\frac{2}{k}$ ，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于 $x$ 轴外一点，若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴围成一个等腰三角形，则 $k$ 的所有可能的取值为.

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11. 已知点 $P (0 ， 1)$ ， $A$ 是直线 $l ： a x + b y = 0 (a b \neq 0)$ 上一点，单位向量 $\vec{n}$ 是 $l$ 的一个法向量，设 $Q$ 是平面上的动点，且满足 $2 | \vec{A P} \cdot \vec{n} | \geq | (\vec{A P} + \vec{A Q}) \cdot \vec{n} |$ 。若 $| \vec{A Q} \cdot \vec{n} | = λ | \vec{A P} \cdot \vec{n} |$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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12. 在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆 $C_{1} ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1 ， C_{2} ： {(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 1$ ，并将这两个圆内部涂成红色，过原点画一条斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，沿着 $l$ 将该纸剪成两张纸，若两张纸上红色部分的面积相等，则 $k$ 的取值集合为.

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 设 $A_{1} ， A_{2} ， ⋯ ， A_{2023}$ 是空间中给定的2023个不同的点，则使得 $\vec{M A_{1}} + \vec{M A_{2}} + ⋯ + \vec{M A_{2023}} = \vec{0}$ 成立的点 $M$ 的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2023个 D、4046个

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14. 已知 $a_{1} ， b_{1} ， c_{1} ， a_{2} ， b_{2} ， c_{2}$ 均为实数，且 $a_{1} ， b_{1}$ 不同时为零， $a_{2} ， b_{2}$ 不同时为零，则“ $a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}$ ”是“关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases}$ 有无数组解”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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15. 若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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16. 若点 $P (3 ， 1)$ 既是 $A (a_{1} ， b_{1}) ， B (a_{2} ， b_{2})$ 的中点，又是直线 $l_{1} ： a_{1} x + b_{1} y - 10 = 0$ 与 $l_{2} ： a_{2} x + b_{2} y - 10 = 0$ 的交点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程是（）

A、 $3 x + y - 10 = 0$ B、 $x + 3 y - 6 = 0$ C、 $x - 3 y = 0$ D、 $3 x - y - 8 = 0$

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三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17. 已知常数 $a \in R$ ，设直线 $l_{1} ： x + a y + (a + 1) = 0$ ，直线 $l_{2} ： (a - 1) x + 6 y + 3 = 0$

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $a$ 的值

(2)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $C$ 是函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图像上的动点，以 $C$ 为圆心的圆与 $x$ 轴交于 $O ， A$ 两点，与 $y$ 轴交于 $O ， B$ 两点

(1)、求证： $Δ O A B$ 的面积为定值

(2)、设直线 $y = - 3 x + 5$ 与圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点。若 $| O M | = | O N |$ ，求圆 $C$ 的方程

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19. 如图，在底面是菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A C = 6 ， ∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $E$ 是棱 $P D$ 上一点，且 $P E = 2 D E$

(1)、求二面角 $E - A C - D$ 的大小

(2)、在棱 $P C$ 上是否存在一点 $F$ ，使得 $B F / /$ 平面 $A C E$ ？证明你的结论。

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = \sqrt{2} ， O$ 为 $A C$ 的中点， $P O ⊥$ 底面 $A B C$

(1)、求证： $O B ⊥$ 平面 $P A C$

(2)、若 $P O = 2$ ，求点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离

(3)、若点 $O$ 在平面 $P B C$ 上的投影恰好是 $Δ P B C$ 的重心，求线段 $P O$ 的长。

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知两点 $S (4 ， 0) ， T (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P S | = 2 | P T |$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ 。如图，动直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ （ $A ， B$ 均在 $x$ 轴上方），且 $∠ A T O + ∠ B T O = 18 0^{∘}$

(1)、求曲线 $C$ 的方程

(2)、当 $A$ 为曲线 $C$ 与 $y$ 轴正半轴的交点时，求直线 $l$ 的方程；

(3)、是否存在一个定点，使得直线 $l$ 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由。

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