上海市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、填空题：（本题共有12个小题，每小题4分，满分48分）

1. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域是.

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2. 已知函数 $y = 4 + a^{x - 1}$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 坐标为.

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3. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ \frac{1}{x} \leq 1}$ ，则 $\bar{A} =$ .

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4. 若函数 $y = \frac{x + a}{x^{2} + b x + 1}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，则 $a^{2} + b^{2} =$ .

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5. 函数 $y = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 的值域是.

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6. 已知不等式 $| 2 x + \frac{1}{x} | > 2 a$ 对一切不为零的实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且是 $(- ∞ ， 0)$ 上的严格减函数，若 $f (1) = 0$ ，则满足不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围为.

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8. 若函数 $y = \sqrt{m x^{2} - 6 m x + m + 8}$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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9. 函数 $y = l o g_{a} (3 - a x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上是严格减函数，则 $a$ 的取值范围是.

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10. 函数 $y = | 3^{x} - 1 |$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[0 ， \frac{1}{3}]$ ，则 $b - a$ 的最大值为.

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11. “求方程 ${(\frac{3}{5})}^{x} + {(\frac{4}{5})}^{x} = 1$ 的解”有如下解题思路：设 $f (x) = {(\frac{3}{5})}^{x} + {(\frac{4}{5})}^{x}$ ，则 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的严格减函数，且. $f (2) = 1$ ，所以原方程有唯一解 $x = 2$ ，类比上述解题思路，可得不等式 $x^{3} - (x - 2)^{2} > (x - 2)^{6} - x$ 的解集为.

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12. 已知 $f (x) = m (x - m) (x + m + 2) ， g (x) = 3^{x} - 3$ .函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 同时满足以下两个条件：①对任意实数 $x$ 都有 $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ；②总存在 $x_{0} \in (- ∞ ， - 2)$ ，使得 $f (x_{0}) g (x_{0}) < 0$ 成立，则 $m$ 的取值范围是.

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二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）

13. 已知 $a 、 b \in R$ ，则“ $l o g_{3} a > l o g_{3} b$ ”是“ ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$ ”的（）条件

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 5 ， 1]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域是（）

A、 $[- 5 ， 1]$ B、 $[- 9 ， 3]$ C、 $[0 ， 3]$ D、 $[- 3 ， 0]$

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15. 下列选项中正确的是（）

A、函数 $y = \frac{1}{x}$ 上的单调递减区间是 $(- ∞ ， 0) \cup (0 ， + ∞)$ B、若对于区间 $I$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足对于任意的 $x_{1} ､ x_{2} \in I ， \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，则函数 $f (x)$ 在 $I$ 上是增函数 C、已知函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x + 2$ ，则 $f (x) = x^{2} + 1$ D、已知函数 $y = f (x)$ 满足：当 $x \neq 0$ 时， $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ，则 $f (- \frac{1}{x}) = - x + \frac{1}{x}$

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16. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{| x |}{x - 4} = k x^{2}$ 有四个不同的实数解，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{4})$ B、 $(- ∞ ， - \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4} ， + ∞)$ D、 $(0 ， 1)$

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三、解答题：（本题共有4大题，满分36分解题时要有必要的解题步骤）

17. 已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2} - \frac{a}{x}$ .

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性：

(2)、若函数在区间 $[1 ， + ∞)$ 上是严格增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (x) = 1 - 2 a - 2 a x - 2 (1 - x^{2})$ ，函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值为 $g (a) (a \in R)$

(1)、求函数 $y = g (a)$ 的表达式；

(2)、若 $g (a) = \frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值及此时函数 $y = f (x)$ 的最大值.

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19. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 $x$ 台机器人的总成本 $p (x) = \frac{1}{600} x^{2} + x + 150$ 万元.

(1)、若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)、现按（1）中的数量购买机器人，需要安排 $m$ 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 $q (m) = {\begin{array}{l} \frac{8}{15} m (60 - m) ， 1 \leq m \leq 30 \\ 480 ， m > 30 \end{array}$ （单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量.

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20. 已知函数 $f (x)$ 对一切实数 $x ， y \in R$ 都有 $f (x + y) - f (y) = x (x + 2 y - 2)$ 成立，且 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值和 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移一个单位得到函 $g (x)$ 的图象，若 $0 < m < n$ ，且 $| l n g (m) | = | l n g (n) |$ ，求 $2 m + 3 n$ 的取值范围；

(3)、若 $h (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，关于 $x$ 的方程 $h (| a^{x} - 3 |) + \frac{2 k}{| a^{x} - 3 |} - 3 k = 0 (a > 1)$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围.

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