北京市八一重点学校2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的点 $P$ 到椭圆一个焦点的距离为7，则 $P$ 到另一焦点的距离为（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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2. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是平面内两个不同的定点， $P$ 为平面内的动点，则“ $| | P F_{1} | - | P F_{2} | |$ 的值为定值 $m$ ，且 $m < | F_{1} F_{2} |$ ”是“点 $P$ 的轨迹是双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 直线 $l ： k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 5$ 的公共点个数为（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $1$ 个或 $2$ 个

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4. 在四面体 $O - A B C$ 中，点 $P$ 为棱 $B C$ 的中点. 设 $\overset{⇀}{O A} = \vec{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \vec{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \vec{c}$ ，那么向量 $\overset{⇀}{A P}$ 用基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 可表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知点 $M (1 ， - 2) ､ N (m ， 2)$ ，若线段 $M N$ 的垂直平分线的方程是 $\frac{x}{2} + y = 1$ ，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 7$ C、3 D、1

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6. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ，则 $A B_{1}$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 已知F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ -1 D、 $\sqrt{3}$ -1

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8. 如图，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为4，动点 $E$ ， $F$ 在棱 $A B$ 上，且 $E F = 2$ ，动点 $Q$ 在棱 $D^{^{'}} C^{^{'}}$ 上，则三棱锥 $A^{^{'}} - E F Q$ 的体积（）

A、与点 $E$ ， $F$ 位置有关 B、与点 $Q$ 位置有关 C、与点 $E$ ， $F$ ， $Q$ 位置有关 D、与点 $E$ ， $F$ ， $Q$ 位置均无关，是定值

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9.
如图F₁、F₂是椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1与双曲线C₂的公共焦点，A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点，若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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10. 已知点集 $S = {(x ， y) | {(x - c o s^{2} α)}^{2} + {(y - s i n^{2} α)}^{2} \leq 1 ， α \in R}$ ，当 $α$ 取遍任何实数时， $S$ 所扫过的平面区域面积是（）

A、 $2 \sqrt{2} + π$ B、 $2 + π$ C、 $1 + π$ D、 $4 + π$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 直线 $x + \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角为．

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12. 若直线 $a x - y = 0$ 与直线 $4 x - a y + a - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ .

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13. 若直线过点 $(\sqrt{2} ， 0)$ 且与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 2$ 仅有一个公共点，则这样的直线有条

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14. 已知AB为圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的直径，点P为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为．

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15. 2021年3月30日，我国某公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新 $L o g o$ .据了解，新 $L o g o$ 将原本方正的橙色边框换成了圆角边框.这种由方到圆的弧度变化，为公司的文化融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感，而设计师的灵感来源于数学中的曲线 $C ： | x |^{n} + | y |^{n} = 1$ ，请将说法正确的序号填在横线上.
①对任意的 $n \in R$ ，曲线 $C$ 总关于原点成中心对称；
②当 $n > 0$ 时，曲线 $C$ 总过四个整点（横､纵坐标都为整数的点）；
③当 $0 < n < 1$ 时，曲线 $C$ 围成图形的面积最大值为2；
④当 $n = - 2$ 时，曲线 $C$ 上的点到原点距离的最小值为2.

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三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知椭圆 $C$ ： $3 x^{2} + y^{2} = 12$ ，直线 $x - y - 2 = 0$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的焦点坐标及长轴长；

(2)、求以线段 $A B$ 为直径的圆的方程.

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17. 已知点 $A (- 3 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，动点P 满足：|PA|=2|PB|．

(1)、若点P的轨迹为曲线 $C$ ，求此曲线的方程；

(2)、若点Q在直线l_1：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线 $C$ 只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，且面 $P A D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $B C$ $∥$ $A D ， A B ⊥ A D ， A D = 2 A B = 2 B C = 2 ， E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求二面角 $P - A C - D$ 所成角的余弦值；

(2)、设 $F$ 是 $B E$ 的中点，判断点 $F$ 是否在平面 $P A C$ 内，并证明结论.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左顶点为 $A$ ，点 $D (1 ， \frac{3}{2})$ 是椭圆 $C$ 上一点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过椭圆右焦点 $F_{2}$ 且与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 与直线 $x = 4$ 分别交于 $M$ ， $N$ ．
①求证： $M$ ， $N$ 两点的纵坐标之积为定值；
②求 $△ A M N$ 面积的最小值．

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