山东省春季高考济南市2024年高三第一次模拟试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出．并填涂在答题卡上）

1. 已知集合 $M = {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10} ， N = {x ∣ - 1 < x < 6}$ ，则 $M ∩ N$ 等于（）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${2 ， 4 ， 6}$ C、 ${2 ， 4 ， 6 ， 8}$ D、 ${2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x > 0 ， x^{2} - x \leq 0$ ，则 $⌝ p$ 为（）

A、 $\exists x \leq 0 ， x^{2} - x > 0$ B、 $\exists x > 0 ， x^{2} - x > 0$ C、 $\forall x > 0 ， x^{2} - x > 0$ D、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - x > 0$

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3. 若 $a ， b \in R$ ，则“ $(a - b) a^{2} < 0$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$

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5. 下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列函数中，在区间 $(0 ， 2)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 3 - x$ B、 $y = x^{2} + 1$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = - | x |$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ ，则 $f (- 1)$ 等于（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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8. 设 $l o g_{3} 4 = a ， l o g_{3} 5 = b$ ，则 $l o g_{3} 10$ 等于（）

A、 $2 a + 4 b$ B、 $4 a - 2 b$ C、 $\frac{1}{2} a + b$ D、 $\frac{1}{4} a + \frac{1}{2} b$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公差为3的等差数列，如果 $a_{n} = 2023$ ，则 $n$ 等于（）

A、677 B、676 C、675 D、674

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10. 4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（）

A、36 B、72 C、81 D、144

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11. 下列式子的化简结果错误的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ B、 $(\vec{A B} + \vec{M B}) + \vec{B O} + \vec{O M} = \vec{A B}$ C、 $\vec{O A} - \vec{O D} + \vec{A D} = \vec{0}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A D} - \vec{D C} = \vec{B C}$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (m ， - 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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13. 如图所示，在平面直角坐标系中，角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $A$ ，且点 $A$ 的纵坐标为 $\frac{4}{5}$ ，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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14. 已知角 $α \in (0 ， π)$ ，且 $c o s 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15. 下列命题：
①如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；
②如果平面 $α$ 和不在这个平面内的直线 $a$ 都垂直于平面 $β$ ，那么 $a ∥ α$ ；
③垂直同一平面的两个平面互相平行；
④垂直同一平面的两个平面互相垂直．
其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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17. 二项式 ${(x - \frac{1}{x})}^{12}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数是（）

A、 $- 462$ B、462 C、792 D、 $- 792$

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18. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ 的圆心在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上，则该抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{1}{8} ， 0)$ B、 $(\frac{1}{4} ， 0)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(1 ， 0)$

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，面积为S ，且 $a^{2} + 4 S = c^{2} + b^{2}$ ，则角 $A$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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20. 陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径 $A B = 12 c m$ ，圆柱体部分的高 $B C = 6 c m$ ，圆锥体部分的高 $C D = 4 c m$ ，则这个陀螺的表面积是（）

A、 $(144 + 12 \sqrt{13}) π c m^{2}$ B、 $(144 + 24 \sqrt{13}) π c m^{2}$ C、 $(108 + 12 \sqrt{13}) π c m^{2}$ D、 $(108 + 24 \sqrt{13}) π c m^{2}$

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二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）

21. 不等式 $| 3 - 2 x | < 1$ 的解集是．

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22. 已知直线 $x + y + 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0$ 交于A，B两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为．

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23. 变量x，y满足的约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \leq 0 \\ 4 x - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ 表示的可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数 $z = - 2 x + y$ 的最大值是．

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24. 为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到 $1 c m$ ），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过 $168 c m$ 的男生的人数为．

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25. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 垂直，则双曲线的离心率为．

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三、解答题（本大题5个小题，共40分）

26. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = - 1$ ，顶点为 $(1 ， - 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a - 1 ， 4]$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围．

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27. 假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米．求：

(1)、截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？

(2)、哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

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28. 已知函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中向量 $\vec{a} = (m ， c o s 2 x) ， \vec{b} = (1 + s i n 2 x ， 1)$ ，且函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{π}{4} ， 2)$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小值及此时x的取值集合．

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29. 如图所示，已知 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， B B_{1} ∥ A A_{1} ， A B = A C$ ，点E和F分别为 $B C$ 和 $A_{1} C$ 的中点．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ ；

(2)、证明： $A E ⊥$ 平面 $B C B_{1}$ ．

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30. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $M (2 ， \sqrt{2}) ， N (\sqrt{6} ， 1)$ 两点，O为坐标原点．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x + 4 (k > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{8}{3}$ 相切，且与椭圆交于A，B两点，证明： $O A ⊥ O B$ ．

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