江苏省扬州市重点中学2023-2024学年高三上学期数学新高考一卷模拟测试一试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ l o g_{3} x > 2}$ ， $B = {x \in N | x \leq 2024}$ ，则集合 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2014 B、2015 C、2023 D、2024

查看试题解析
2. 设复数 $z = x + y i (x > 0 ， y \in R)$ ，且满足 $z^{2} = 18 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 + 2 i$ B、 $3 + 3 i$ C、 $3 - 2 i$ D、 $3 - 3 i$

查看试题解析
3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $s i n^{2} A - s i n^{2} C + s i n^{2} B = s i n A s i n B$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
4. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 4$ ，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D C}$ ，其中 $λ \in [0 ， \frac{2}{3}]$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的取值范围是（）

A、 $[4 ， 5]$ B、 $[8 ， 10]$ C、 $[4 ， \sqrt{17}]$ D、 $[2 \sqrt{17} ， 10]$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若b是a与c的等比中项，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、0 B、0或1 C、2 D、0或1或2

查看试题解析
6. 函数f(x)=cos(x- $\frac{π}{2}$ )ln( $e^{x} + e^{- x}$ )的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 对于一个给定的数列 ${a_{n}}$ ，令 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 称为数列 ${a_{n}}$ 的一阶商数列，再令 $c_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ ，则数列 ${c_{n}}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的二阶商数列．已知数列 ${A_{n}}$ 为 $1$ ， $2$ ， $8$ ， $64$ ， $1024$ ， ...，且它的二阶商数列是常数列，则 $A_{7} =$ （）

A、 $2^{15}$ B、 $2^{19}$ C、 $2^{21}$ D、 $2^{28}$

查看试题解析
8. 已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，且椭圆 $C_{2}$ 经过椭圆 $C_{1}$ 的两个顶点与两个焦点，设椭圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别是 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{1}^{2} < \frac{1}{2}$ 且 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} < 1$ B、 $e_{1}^{2} < \frac{1}{2}$ 且 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} > 1$ ． C、 $e_{2}^{2} < \frac{1}{2}$ 且 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} < 1$ D、 $e_{2}^{2} < \frac{1}{2}$ 且 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} > 1$

查看试题解析

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 满足 $x_{3} \cdot 2^{x_{1}} = x_{3} \cdot 3^{x_{2}} = 1$ ，则下列不等关系可能成立的是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ D、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$

查看试题解析
10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10} = 0$ ， $S_{15} = 25$ ，则（）

A、 $a_{5} = - \frac{1}{3}$ B、 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和中 $S_{5}$ 最小 C、 $n S_{n}$ 的最小值为 $- 49$ D、 $\frac{S_{n}}{n}$ 的最大值为0

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = c o s x | t a n x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $[- π ， - \frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的一个单调递增区间 C、 $f (π + x) = - f (x)$ D、当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 时， $f (x) \geq f (0)$

查看试题解析
12. 已知实数m ， n满足 $\frac{m e^{m}}{4 n^{2}} = \frac{l n n + l n 2}{e^{m}}$ ，且 $e^{2 m} = \frac{1}{m}$ ，则（）

A、 $n = \frac{e^{m}}{2}$ B、 $m n^{2} = 1$ C、 $m + n < \frac{7}{5}$ D、 $1 < 2 n - m^{2} < \frac{3}{2}$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{5} =$ ．

查看试题解析
14. 等差数列 ${a_{n}}$ 中的 $a_{1} ， a_{2023}$ 是函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，则 $l o g_{8} a_{1012} =$ .

查看试题解析
15. 已知点P是直线 $l_{1}$ ： $m x - n y - 5 m + n = 0$ 和 $l_{2}$ ： $n x + m y - 5 m - n = 0$ （m ， $n \in R$ ， $m^{2} + n^{2} \neq 0$ ）的交点，点Q是圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最大值是.

查看试题解析
16. 已知直线 $y = x - 2$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ ， $B$ （不重合）线段 $A B$ 的垂直平分线过点 $(4 ， 0)$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

(1)、已知角 $α$ 终边上一点 $P (- 4 ， 3)$ ，求 $\frac{c o s (\frac{π}{2} + α) s i n (\frac{3}{2} π - α)}{t a n (- π + α)}$ 的值；

(2)、化简求值： $(l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) \cdot (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) + {(\frac{64}{27})}^{- \frac{1}{3}}$

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，已知角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c是公差为1的等差数列.

(1)、若 $3 s i n C = 5 s i n A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、是否存在正整数a ，使 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求a的值；若不存在，说明理由.

查看试题解析
19. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = l o g_{a} x - x$ .

(1)、若 $a = e$ 且 $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ ，求函数 $f (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，则面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧棱 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $O$ 为 $A D$ 中点.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求异面直线 $P B$ 与 $C D$ 所成角的大小.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} ， C$ 上有三点 $Q ､ R ､ S$ ，直线 $Q R ､ Q S$ 分别过 $F_{1} ， F_{2} ， △ Q R F_{2}$ 的周长为8．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、①若 $Q (0 ， b)$ ，求 $△ Q R S$ 的面积；
②证明：当 $△ Q R S$ 面积最大时， $△ Q R S$ 必定经过 $C$ 的某个顶点．

查看试题解析
22. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 $(a_{1} ， a_{2} ， a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in {0 ， 1} (1 \leq i \leq 3 ， i \in N)$ ．而在n维空间中 $(n \geq 2 ， n \in N)$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 $(a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ⋯ ， a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in {0 ， 1} (1 \leq i \leq n ， i \in N)$ ．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 $(a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ⋯ ， a_{n})$ 与 $(b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， ⋯ ⋯ ， b_{n})$ 坐标差的绝对值之和，即为 $| a_{1} - b_{1} | + | a_{2} - b_{2} | + | a_{3} - b_{3} | + ⋯ ⋯ + | a_{n} - b_{n} |$ ．回答下列问题：

(1)、求出n维“立方体”的顶点数；

(2)、在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 $0.25 n^{2}$ ．
（已知对于正态分布 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ， P随X变化关系可表示为 $φ_{μ ， σ} (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ）

查看试题解析