福建省宁德第一中学2023-2024学年高三上学期数学学科素养训练（二模）试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 2^{x} < 1} ， B = {x ∣ x > 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x ∣ x > 1}$ B、 ${x ∣ x > 0}$ C、 ${x ∣ x < 0}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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2. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为 $100 π$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{259 π}{3}$ B、 $75 π$ C、 $\frac{238 π}{3}$ D、 $\frac{175 π}{3}$

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3. 已知直线 $m$ ，直线 $n$ 和平面 $α$ ，则下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ n$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ⊥ α$

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4. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、由题中数据可知，变量y与x正相关 B、线性回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.28$ C、可以预测 $x = 6$ 时该商场5G手机销量约为1.72（千只） D、 $x = 5$ 时，残差为-0.02

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5. 已知 $f (x) = x^{2} (- 1 ≤ x ≤ 3)$ ， $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - m (0 ≤ x ≤ 2)$ ，若 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $(- \frac{3}{4} ， + \infty)$

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6. 国内首个百万千瓦级海上风电场一三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力，风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型： $F (x) = 1 - e^{- {(\frac{x}{2})}^{k}}$ ，其中 $k$ 为形状参数， $x$ 为风速，已知风速为 $1 m / s$ 时， $F \approx 0.221$ ，则风速为 $3 m / s$ 时， $F \approx$ （）
（参考数据： $l n 0.779 \approx - \frac{1}{4} ， e^{- 4} \approx 0.018 ， e^{- \frac{9}{4}} \approx 0.105$ ）

A、 $0.859$ B、0.895 C、 $0.985$ D、 $0.982$

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7. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x^{2} + x | ， x \leq 0 \\ l n (x + 1) ， x > 0 \end{array}$ ，关于x的方程 $f (x) - a (x + 1) = 0$ 有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{1}{e} ， 1) \cup {0}$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{e}) ∪ (1 ， e) ∪ {0}$ C、 $(- \infty ， 0] ∪ (\frac{1}{e} ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0] ∪ (1 ， e)$

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8. 设 $a = \frac{1}{e}$ ， $b = - \frac{1}{2} l n \frac{1}{2}$ ， $c = \frac{4 (4 - l n 4)}{e^{4}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9. 若 $a$ ､ $b$ ､ $c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $0 < a < 1$ ，则 $a^{2} < a$ C、若 $b > a > 0$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、 $a^{2} + b^{2} + 1 \geq 2 (a - 2 b - 2)$

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10. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件 $B$ ，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{3}$ B、 $A ， B$ 为互斥事件 C、 $P (B ∣ A) = \frac{1}{2}$ D、 $A ， B$ 相互独立

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11. 给出下列说法，错误的有（）

A、若函数 $f (x) = \frac{k - 3^{x}}{1 + k \cdot 3^{x}}$ 在定义域上为奇函数，则 $k = 1$ B、已知 $f (x) = l g (x^{2} + 2 x + a)$ 的值域为 $R$ ，则a的取值范围是 $a > 1$ C、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，且 $f (- 1) = 5$ ，则 $f (3) = 5$ D、已知函数 $f (x) = 1 + l o g_{3} x ， x \in [1 ， 9]$ ，则函数 $y = f^{2} (x) + f (x^{2})$ 的值域为 $[2 ， 14]$

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12. 如图，在边长为3的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $M$ 为 $B C$ 边的中点，下列结论正确的有（）

A、 $A M$ 与 $D^{'} B^{'}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、过 $A ， M ， D^{'}$ 三点的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的截面面积为 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$ C、 $P$ 在线段 $B^{'} D^{'}$ 上运动，则三棱锥 $D - A^{'} B P$ 的体积不变 D、 $Q$ 为正方体表面 $B C C^{^{'}} B^{^{'}}$ 上的一个动点， $E ， F$ 分别为 $A C^{'}$ 的三等分点，则 $| Q E | + | Q F |$ 的最小值为 $\sqrt{11}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13. 已知幂函数 $f (x) = k x^{a}$ 的图象经过点 $(16 ， 4)$ ，则 $k - a$ 的值为.

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14. 函数 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x + 1$ 的定义域是 $[- 2 ， 0]$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间是.

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15. 若正数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{4}{a - 1} + \frac{16}{b - 1}$ 的最小值为.

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16. 在三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = 4$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ，若三棱锥 $D - A B C$ 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 3 < x < 2}$ ， $B = {\begin{array}{l} x | \frac{2 x - 7}{x - 1} \leq 1 \end{array}}$ ， $C = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ .

(1)、求 $A ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $C \subseteq A \cup B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{x} + 1) + a x$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + x$ ， $h (x) = x^{2} - 2 x + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 4]$ ，存在 $x_{2} \in [0 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x (a \in R ， b \in R)$ ，其图象在点 $(1 ， 4)$ 处的切线方程为 $y = 4$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 4]$ 上的最值.

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20. 在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，BC $∥$ AD ， ∠ADC=90°， $B C = C D$ $= \frac{1}{2} A D = 1$ ， E为线段AD的中点. $P E ⊥$ 底面ABCD ，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.

(1)、求证：BE $∥$ FG；

(2)、若PC与AB所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.

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21. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $100$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $100$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[80 ， 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80 ， 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ .

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x - \frac{2}{a x}$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = f (x) + x^{2} + \frac{2}{a x}$ 有两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $2 g (x_{1}) - g (x_{2})$ 的最小值.

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时间x	1	2	3	4	5
销售量y（千只）	0.5	0.8	1.0	1.2	1.5