重庆市巴南区2024届高三上学期数学诊断考试（一）试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - 5 x > 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{5 i}{1 + 2 i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. 已知 $s i n (x + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (\frac{2 π}{3} - 2 x) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1～9的一种方法.例如：3可表示为“ $\equiv$ ”，26可表示为“ $=$ $⊥$ ”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积 $T_{n} = 1 - \frac{2}{15} n$ ，则 $a_{n}$ 的最大值与最小值的和为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、2 D、3

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6. 如图所示，正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 的中点，点 $P$ 是线段 $E F$ 上的动点，则 $\vec{G P} \cdot \vec{A P}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{23}{8}$ B、3 C、 $\frac{27}{8}$ D、48

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7. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M ， N满足 $\vec{F_{1} M} = \vec{M P}$ ， $2 \vec{O N} = \vec{O P} + \vec{O F_{2}}$ ，若四边形 $M O N P$ 的周长等于 $4 b$ ，则椭圆C的离心率为 $e =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (4 + x) = f (4 - x)$ ， $f (0) = - 1$ ，且当 $x \in (0 ， 4]$ 时， $f (x) = \frac{l n x}{x}$ .若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > a$ 在 $[- 48 ， 48]$ 上有且只有 $60$ 个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0]$ B、 $[0 ， \frac{l n 2}{2})$ C、 $(- 1 ， \frac{l n 2}{2})$ D、 $[\frac{l n 2}{2} ， \frac{l n 3}{3})$

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二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x) = c o s 2 x$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增

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10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：
学校
人数
平均运动时间
方差
甲校
2000
10
3
乙校
3000
8
2
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} = 8.7$ B、 $\bar{x} = 8.8$ C、 $s^{2} = 3.36$ D、 $s^{2} = 3.56$

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11. 如图，平行六面体 $A C_{1}$ 中， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 45 °$ ， $A D = A B$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点O ，则下列说法正确的有（）

A、平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ B、若 $| A_{1} O | = | A O |$ ，则平行六面体的体积 $V = \frac{1}{2} \cdot | A_{1} C | S_{四边形 B_{1} B D D_{1}}$ C、 $\vec{A_{1} O} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ D、若 $∠ B A D = 60 °$ ，则 $c o s ∠ A_{1} A C = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x (1 - l n x)$ ，下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 有最大值 B、 $f (\frac{3}{e}) < f (\frac{1}{e})$ C、若 $x \geq e$ 时， $f (x) - a (e - x) \leq 0$ 恒成立，则 $a \leq 1$ D、设 $x_{1} ， x_{2}$ 为两个不相等的正数，且 $\frac{l n x_{1}}{x_{1}} - \frac{l n x_{2}}{x_{2}} = \frac{1}{x_{2}} - \frac{1}{x_{1}}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 2$

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三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. $(\frac{2}{x} - x)^{n}$ 展开式中的各二项式系数之和为256，则 $x^{4}$ 的系数是

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14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} = 20$ ， $a_{2} + a_{3} = 80$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{b_{n}}{S_{n} + 8} \leq λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为.

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上存在两点 $A ， B$ （ $A ， B$ 异于坐标原点 $O$ ），使得 $∠ A O B = 90 °$ ，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转 $90 °$ 与该抛物线交于C ， D两点，则四边形ACBD面积的最小值为.

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四、解答题（共6小题，共70分）

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $c = a (c o s B + \sqrt{3} s i n B)$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，且 $a = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \times 2^{n}$ .

(1)、求证： ${a_{n} - 2^{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前项和 $S_{n}$ .

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19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $100$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $100$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[80 ， 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80 ， 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ .

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20. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 6 ， 0)$ 、 $F_{2} (6 ， 0)$ ， $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆与直线 $F_{1} F_{2}$ 相切于点 $D (4 ， 0)$ ，记点M的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、设点T在直线 $x = 2$ 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P ， Q两点，连接 $B P ， A Q$ .若直线 $A B$ 的斜率与直线 $P Q$ 的斜率之和为0，试比较 $c o s ∠ B A Q$ 与 $c o s ∠ B P Q$ 的大小.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - a (x s i n x + c o s x) + c o s x + a (x > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，
（Ⅰ）求 $(π ， f (π))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）判断 $f (x)$ 的单调性，并给出证明；

(2)、若 $f (x) > 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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学校	人数	平均运动时间	方差
甲校	2000	10	3
乙校	3000	8	2