重庆市缙云教育联盟2024届高三上学期数学12月高考第零次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设 $x \in R$ ，则“ $x > 3$ ”是“ $x (x - 2) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 如果复数 $z = m^{2} + m - 2 - (m - 1) i$ 是纯虚数， $m \in R ， i$ 是虚数单位，则（）

A、 $m \neq 1$ 且 $m \neq - 2$ B、 $m = 1$ C、 $m = - 2$ D、 $m = 1$ 或 $m = - 2$

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3. 某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了 $5$ 名学生到 $A 、 B 、 C$ 三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（）

A、 $25$ B、 $60$ C、 $90$ D、 $150$

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4. 设函数 $f (x) = l g (x^{2} + 1)$ ，则使得 $f (2 x - 1) > f (x + 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，直线 $l ： y = 2 x + m$ ，若椭圆上存在关于直线 $l$ 对称的两点，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ D、 $(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} ， \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

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6. 已知 $a = \frac{1}{\sqrt[3]{e}}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = s i n (c o s 1.1)$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 若 $f (x) = 2 s i n x (\sqrt{3} c o s x - s i n x)$ ，且 $f (x_{1}) f (x_{2}) = - 3$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $2 π$ D、 $\frac{π}{4}$

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8. 17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 改写成 $x = 1 + \frac{1}{x}$ ①，将 $x$ 再代入等式右边得到 $x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ ，继续利用①式将 $x$ 再代入等式右边得到 $x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$ ……反复进行，取 $x = 1$ 时，由此得到数列 $1$ ， $1 + \frac{1}{1}$ ， $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}$ ， $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}$ ， $⋯$ ，记作 ${a_{n}}$ ，则当 $n$ 足够大时， $a_{n}$ 逼近实数 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ．数列 ${a_{n}}$ 的前2024项中，满足 $| a_{n} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} | < 0.005$ 的 $a_{n}$ 的个数为（）（参考数据： $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ ）

A、1007 B、1009 C、2014 D、2018

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $B C$ 边的中点，下列结论正确的有（）

A、 $A M$ 与 $D_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、过三点A、M、 $D_{1}$ 的截面面积为 $\frac{11}{2}$ C、四面体 $A_{1} C_{1} B D$ 的内切球的表面积为 $\frac{π}{3}$ D、E是 $C C_{1}$ 边的中点，F是 $A B$ 边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．

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10. 已知直线 $l ： x - 2 y + 8 = 0$ 和三点 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 2 ， - 4)$ ， $C (2 ， 5)$ ，过点C的直线 $l_{1}$ 与x轴、y轴的正半轴交于M ， N两点．下列结论正确的是（）

A、P在直线l上，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ B、直线l上一点 $P (12 ， 10)$ 使 $| | P B | - | P A | |$ 最大 C、当 $| \vec{C M} | \cdot | \vec{C N} |$ 最小时 $l_{1}$ 的方程是 $x + y - 7 = 0$ D、当 $| \vec{O M} | \cdot | \vec{O N} |$ 最小时 $l_{1}$ 的方程是 $5 x + y - 15 = 0$

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11. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = - x^{2} + 4$ B、 $y = x^{- 1}$ C、 $y = {(\frac{1}{3})}^{| x |}$ D、 $y = \sqrt{x}$

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12. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为 $s_{1}^{2}$ ，平均数为 ${\bar{x}}_{1}$ ；去掉的两个数据的方差为 $s_{2}^{2}$ ，平均数为 ${\bar{x}}_{2}$ ﹔原样本数据的方差为 $s^{2}$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，若 $\bar{x}$ = ${\bar{x}}_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\bar{x}$ $= {\bar{x}}_{1}$ B、 $15 s^{2} = 14 s_{1}^{2} + s_{2}^{2}$ C、剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D、剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，向量 $\vec{a} = - 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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14. 已知球的两个平行截面的面积分别为 $49 π$ ， $100 π$ 且两个截面之间的距离是 $9$ ，则球的表面积为．

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15. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c ，其中A、C、B成等差数列， $a = 2 \sqrt{2}$ ， $s i n (C - A) = c o s B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 $x$ ，符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[- e] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ ，定义函数 $f (x) = x - [x]$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．已知 $b s i n 2 A = a s i n B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{3} b ， c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} + 5 ， n = 2 k - 1 ， k \in N^{*} \\ - a_{n} + 10 ， n = 2 k ， k \in N^{*} \end{array}$ ，记 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $T_{3} = T_{4} = 24$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n} = T_{m} = 96 (n < m)$ ，求 $n$ ， $m$ .

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19. 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
学生与最近食堂间的距离 $d (m)$
$(0 ， 200]$
$(200 ， 400]$
$(400 ， 600]$
$(600 ， 800]$
$(800 ， + \infty)$
合计
在食堂就餐
0.15

0.10

0.00
0.50
点外卖

0.20

0.00
0.50
合计
0.20

0.15
0.00
1.00
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为 $370 m$ （同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.

(1)、补全频率分布表，并根据小概率值 $α = 0.0001$ 的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过 $400 m$ 时，认为较近，否则认为较远）：

(2)、已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件 $A$ ，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件 $D$ ，且 $D$ 、 $A$ 均为随机事件，证明： $P (D | A) > P (D | \bar{A})$ ：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得 $a$ 元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得 $2 b$ 元优惠，以后每天中午均获得 $b$ 元优惠（其中 $a$ ， $b$ 为已知数且 $b > a > 0$ ）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为 $p$ （ $0 < p < 1$ ），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828

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20. 已知点 $E (- 4 ， 0)$ ， $F (- 1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P E |}{| P F |} = 2$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过曲线 $C$ 与 $x$ 轴的负半轴的交点 $D$ 作两条直线分别交曲线 $C$ 于点 $A ， B$ （异于 $D$ ），且直线 $A D$ ， $B D$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $A B$ 过定点.

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D$ ∥ $B C$ 、 $∠ A D C = 9 0^{∘}$ 、 $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ 、 $P A = P D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $P C$ 的中点， $P E ⊥ C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P C$ 与 $A B$ 所成角为 $4 5^{∘}$ ，求二面角 $F - B E - A$ 的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若方程 $f (x) = a e^{x} - a e^{2 x}$ 有两个不同的解，求实数a的取值范围.

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学生与最近食堂间的距离 $d (m)$	$(0 ， 200]$	$(200 ， 400]$	$(400 ， 600]$	$(600 ， 800]$	$(800 ， + \infty)$	合计
在食堂就餐	0.15		0.10		0.00	0.50
点外卖		0.20			0.00	0.50
合计	0.20			0.15	0.00	1.00

$α$	0.10	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828