黑龙江省鸡西市密山市高级名校2023-2024学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：期末考试

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一、选择题（每题5分，共40分）

1. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则椭圆C的长轴长为（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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2. 如果存在三个不全为零的实数x、y、z ，使得 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = \vec{0}$ ，则关于 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ （）

A、两两相互垂直 B、只有两个向量互相垂直 C、共面 D、有两个向量互相平行

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3. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $y = - 1$ C、 $x = 1$ D、 $y = 1$

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4. 如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（）.

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{3 y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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6. 2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组 $[12 ， 13)$ ，第二组 $[13 ， 14)$ ， …，第六组 $[17 ， 18]$ ，得到如下频率分布直方图，则该100名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是（）

A、15.2 15.4 B、15.1 15.4 C、15.1 15.3 D、15.2 15.3

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7. 某企业为了研究某种产品的销售价格 $x$ （元）与销售量 $y$ （千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：
$x$
16
12
8
4
$y$
24
a
38
64
其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为： $y = - 3.1 x + 71$ ，则缺失的数据a是（）

A、33 B、35 C、34 D、34.8

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8. 十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $\frac{2 π}{3}$ ；当三角形有一内角大于或等于 $\frac{2 π}{3}$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{2 π}{3} ， A C = 1 ， B C = 2$ ， $C M$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，交 $A B$ 于 $M$ ，满足若 $P$ 为 $△ A M C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M} + \vec{P M} ·$ $\vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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二、多项选择题（答对一项得1.5分，满分18分）

9. 给出下列命题，其中正确命题有（）

A、空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B、已知向量 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在向量可以与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 构成空间的一个基底 C、 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 是空间四点若 $\vec{B A} ， \vec{B M} ， \vec{B N}$ 不能构成空间的一个基底那么 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 共面 D、已知向量组 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{m}}$ 也是空间的一个基底

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10. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边为1，侧棱长为 $a$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、任意 $a > 0$ ， $A_{1} M ⊥ B D$ B、存在 $a > 0$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 与直线 $B M$ 相交 C、平面 $A_{1} B M$ 与底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 交线长为定值 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、当 $a = 2$ 时，三棱锥 $B_{1} - A_{1} B M$ 外接球表面积为 $3 π$

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11. 若动点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 分别在直线 $l_{1} ： x - 2 y + 2 = 0$ 与 $l_{2} ： x - 2 y + 8 = 0$ 上移动，则 $A B$ 的中点 $M$ 到原点的距离可能为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $A$ ， $B$ ，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、若 $| A F | = 4$ ，则 $| O A | = \sqrt{21}$ C、若 $| A F | \cdot | B F | = 4 p^{2}$ ，则 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、过点 $A$ 作准线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $x$ 轴平分 $∠ H F B$ ，则 $| A F | = 4$

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三、解答题

13. 已知 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中所有的有理项.

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14. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E F / / A B ， E F ⊥ F B$ ， $A B = 2 E F$ ， $∠ B F C = 90 ° ， B F = F C ， H$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $F H / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求证： $A C ⊥$ 平面 $E D B$ ；

(3)、求二面角 $B - D E - C$ 的大小．

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15. 已知直线 $l ： a x - y - 3 + a^{2} = 0 (a \in R)$ .

(1)、若 $l$ 不经过第三象限，求 $a$ 的取值范围；

(2)、求坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 距离的最小值，并求此时直线 $l$ 的方程.

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16. 如图，在多面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ， F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ， d与a ， b ，且a＞c ， b＞d ，两底面间的距离为h ．

(1)、求侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的大小；

(2)、证明： $E F ∥ A B C D$ ；

(3)、在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 $V_{估} = S_{中截面} \cdot h$ 来计算，已知它的体积公式是 $V = \frac{h}{6} (S_{上底面} + 4 S_{中截面} + S_{下底面})$ ，试判断 $V_{估}$ 与V的大小关系，并加以证明．
注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．

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17. 两个边长为2的正方形 $A B C D$ 和 $A D E F$ 各与对方所在平面垂直， $M$ 、 $N$ 分别是对角线 $A E$ 、 $B D$ 上的点，且 $E M = D N$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $D C E$ ；

(2)、设 $E M = x$ ， $M N = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(3)、求 $M$ 、 $N$ 两点间的最短距离.

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18. 如图， $M A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形，且 $M A = A B = a$ ，试求：

(1)、点 $M$ 到 $B D$ 的距离；

(2)、求异面直线 $M B$ 与 $A C$ 所成的角.

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19. 已知 $H$ 是锐角三角形 $A B C$ 的垂心，过 $H$ 作平面 $A B C$ 的垂线，在垂线上取一点 $P$ ，使 $∠ A P B = 9 0^{∘}$ ，求证： $P B ⊥$ 平面 $P A C$ .

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$x$	16	12	8	4
$y$	24	a	38	64