辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} ⩽ 100}$ ， $B = {x ∣ x > 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(5 ， 10]$ B、 $[5 ， 10]$ C、 $[- 10 ， 5]$ D、 $[10 ， + ∞)$

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2. 已知向量 $\vec{P Q} = (1 ， - 5)$ ， $\vec{Q R} = (- 2 ， 1)$ ，则 $\vec{P R} =$ （）

A、 $(4 ， - 6)$ B、 $(- 1 ， - 4)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(2 ， - 4)$

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3. 设 $A$ ， $B$ 是两个集合，且 $A ∪ B = B$ ，则命题“ $\forall x \in A$ ， $x \in B$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in A$ ， $x \notin B$ B、 $\exists x \in A$ ， $x \in B$ C、 $\exists x \in B$ ， $x \notin A$ D、 $\exists x \in A$ ， $x \notin B$

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4. 已知 $a = l g 0.3$ ， $b = 0 . 3^{1.1}$ ， $c = 0 . 3^{1.2}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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5. 从1，2，3，4这4个数中随机选取2个数，则选取的2个数之积大于4的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x^{2} + 1} (a > 1)$ ，则“ $a > 9$ ”是“ $f (x)$ 的最小值大于5”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件 $A =$ “取出的牌有两张6”，事件 $B =$ “取出的牌至少有一张黑桃”，事件 $C =$ “取出的牌有一张大王”，事件 $D =$ “取出的牌有一张红桃6”，则（）

A、事件 $A$ 与事件 $D$ 互斥 B、事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥 C、事件 $B$ 与事件 $D$ 互斥 D、事件 $A$ 与事件 $C$ 互斥

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8. 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记 $p$ 为实际声压，通常我们用声压级 $L (p)$ （单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级 $L (p)$ 与声压 $p$ 存在近似函数关系： $L (p) = a l g \frac{p}{p_{0}}$ ，其中 $a$ 为常数且常数 $p_{0} (p_{0} > 0)$ 为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压 $p_{1}$ 为穿软底鞋走路的声压 $p_{2}$ 的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为 $L (p_{1}) = 60$ 分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级 $L (p_{2})$ 的3倍.若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为 $p^{'}$ ，则（）

A、 $a = 20$ ， $p^{'} ⩽ 10 \sqrt{10} p_{2}$ B、 $a = 20$ ， $p^{'} ⩽ \frac{1}{10} p_{1}$ C、 $a = 10$ ， $p^{'} ⩽ 10 \sqrt{10} p_{2}$ D、 $a = 10$ ， $p^{'} ⩽ \frac{1}{10} p_{1}$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题为真命题的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A M} = \vec{B M}$ B、零向量与任意向量共线 C、互为相反向量的两个向量的模相等 D、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，则 $3 ⩽ | \vec{a} + \vec{b} | ⩽ 5$

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10. 某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）：54，58，46，62，80，50， $x$ .若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则 $x$ 的值可能为（）

A、47 B、45 C、53 D、60

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11. 已知函数 $f (x)$ 对任意 $x ， y \in R$ 恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 4 x y + 1$ ，且 $f (1) = 1$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 可能是偶函数 C、 $f (2) = 8$ D、 $f (x)$ 可能是奇函数

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12. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} | x | |$ ， $x \in (- 1 ， 0) ∪ (0 ， 4]$ .若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有3个实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{2} + 4 x_{3}$ 的最小值为4 B、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是 $(- 1 ， - \frac{1}{4}]$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是 $(1 ， 4]$ D、 $| \frac{1}{x_{1} x_{3}} + \frac{1}{x_{1} x_{2}} | + \frac{16}{x_{3}^{2}}$ 的最小值是9

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线， $\vec{m} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ， $\vec{n} = 2 \vec{a} + x \vec{b}$ ， $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $x =$ .

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14. 函数 $y = l o g_{a} \frac{6 - x}{4 + 2 x} (a > 1)$ 的图象经过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为.

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15. 函数 $f (x) = 4^{x} + \frac{4 - x \cdot 2^{x + 2}}{x^{2}}$ 的最小值为，此时 $x =$ .

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16. 投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行.投严时，第一箭入壸（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”，假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为 $\frac{1}{6}$ ，每次投中的概率为 $\frac{1}{3}$ .若甲投壶3次，则甲“有初”“贯耳”均投得的概率为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位： $g$ ）都在区间 $[90 ， 110]$ 内，将这200个脐橙的质量数据分成 $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100)$ ， $[100 ， 105)$ ， $[105 ， 110]$ ，共4组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、试问这200个脐橙中质量不低于 $100 g$ 的个数是多少？

(2)、若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数.

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点.

(1)、试问 $\vec{D F} - \vec{D A}$ 与 $\vec{E C}$ 是相等向量还是相反向量？说明你的理由.

(2)、若 $\vec{C G} = 2 \vec{G B}$ ，试用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{B F}$ ， $\vec{D G}$ .

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19. 已知函数 $f (x + 2) = 3 x - 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{2}{x} + a$ ， $\forall x_{1} \in [0 ， 2]$ ， $\exists x_{2} \in [\frac{1}{4} ， 2]$ ， $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20. 从① $x^{2} + \frac{2}{x}$ ；② $| x - 1 | + \frac{1}{x}$ 这两个条件中任选一个填入题中的横线上，并解答问题.
已知函数 $f (x) =$ ▲ .

(1)、求 $f (- l g 2 - l g 5) + f (2^{l o g_{2} 3})$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.

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21. 已知函数 $f (x) = (l o g_{x} 2^{x}) \cdot (l o g_{2} \sqrt{x})$ .

(1)、求函数 $F (x) = f (x) - l o g_{\frac{1}{2}} x$ 零点的个数；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - l n x + \frac{1}{x} (x > 1)$ 的最小值为 $m$ ，求函数 $h (x) = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 2 - 4 x^{2} l n x}{2 x^{2}} (x > 1)$ 的最小值（结果用 $m$ 表示）.

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x + 1} - 2^{- x + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得函数 $g (x) = 4^{x} + 4^{- x} - a f (x) (x ⩾ 1)$ 的最小值为 $- 1$ ？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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