福建省福州市闽清二中2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M为 $A C_{1}$ 的中点，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{B M} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C A_{1}} =$ （）

A、 $2 \vec{a} + 2 \vec{b} - 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + 2 \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ D、 $\vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列命题中正确的（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所在的直线平行 B、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 一定不共面 C、若存在不全为0的实数 $x ， y ， z$ 使得 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面 D、对于空间的任意一个向量 $\vec{p}$ ，总存在实数 $x ， y ， z$ 使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$

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3. 在空间直角坐标系中， $A (- 1 ， 2 ， 0)$ ，点 $B (- 1 ， 1 ， 2)$ 关于y轴的对称点为C ，则 $| \vec{A C} |$ =（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{11}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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4. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点M为棱 $A B$ 的中点，点P在正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 的边界及其内部运动．给出以下四个结论：
①存在点P满足 $P M + P D_{1} = \sqrt{5}$ ；
②存在点P满足 $∠ D_{1} P M = \frac{π}{2}$ ；
③满足 $A P ⊥ D_{1} M$ 的点P的轨迹长度为 $\frac{π}{4}$ ；
④满足 $M P ⊥ D_{1} M$ 的点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．
其中正确的结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. $l_{1} ： (a + s i n 30 °) x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + (\sqrt{3} t a n 120 °) y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数a的值为（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中，曲线C： $x ² + y ² = | x | + | y |$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线C围成的图形的面积是 $2 + π ；$
②曲线C围成的图形有2条对称轴；
③曲线C上的任意两点间的距离不超过2；
④若P(m ， n)是曲线C上任意一点，则 $| 3 m + 4 n - 12 |$ 的最小值是 $\frac{17 - 5 \sqrt{2}}{2}$
其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $M$ 为椭圆上在第一象限的一点， $I$ 为 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心，直线 $M I$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，若 $8 \vec{M I} = 5 \vec{M N}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0} ， 4)$ 在 $C$ 上， $| F P | = 5$ ，则直线 $F P$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{3}{2}$ B、 $\pm \frac{2}{3}$ C、 $\pm \frac{4}{3}$ D、 $\pm \frac{3}{4}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E为线段 $A A_{1}$ 的中点， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，点Q在底面ABCD内（包括边界），且点Q到点A的距离与到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离相等，则下列选项中正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时， $B_{1} P + P D$ 的最小值为 $\sqrt{13}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时， $A_{1} P$ 与 $E D_{1}$ 不垂直 C、当 $λ + μ = 1$ 时，存在点P ，使得EP与平面 $B_{1} D_{1} E$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、当 $2 λ + μ = 2$ 时，PQ的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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10. 以下四个命题为真命题的是（）

A、过点 $(- 10 ， 10)$ 且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 $y = - \frac{1}{4} x + \frac{15}{2}$ B、直线 $x c o s θ + \sqrt{3} y + 2 = 0 (θ \in R)$ 的倾斜角的范围是 $[0 ， \frac{π}{6}] ∪ [\frac{5 π}{6} ， π)$ C、直线 $x + y - 1 = 0$ 与直线 $2 x + 2 y + 1 = 0$ 之间的距离是 $\sqrt{2}$ D、直线 $(2 + m) x + 4 y - 2 + m = 0 (m \in R)$ 过定点 $(- 1 ， 1)$

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11. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ ，点 $P$ 为直线 $l$ ： $x - 2 y - 4 = 0$ 上一动点，点 $Q$ 在圆 $C$ 上，以下四个命题表述正确的是（）

A、直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 B、圆 $C$ 上有2个点到直线 $l$ 的距离等于1 C、过点 $P$ 向圆 $C$ 引一条切线 $P A$ ，其中 $A$ 为切点，则 $| P A |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{5}$ D、过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ 、 $P B$ ， $A$ 、 $B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过点 $(\frac{1}{2} ， - 1)$

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12. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (6 ， 0)$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心，线段 $O F$ 为半径作圆与双曲线 $E$ 在第一、二、三、四象限依次交于A ， B ， C ， D四点，若 $c o s ∠ A O F = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则（）

A、 $| A C | = | B D | = 12$ B、 $c o s ∠ A O B = - \frac{7}{9}$ C、四边形 $A B C D$ 的面积为 $64 \sqrt{2}$ D、双曲线 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，若 $\vec{P E} = \frac{2}{3} \vec{P B} ， \vec{P F} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，平面 $A E F$ 与棱 $P D$ 交于点 $G$ ，若 $\vec{P G} = λ \vec{P D}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 直线 $l_{1} ： (a + 3) x + y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (a - 1) y + 4 = 0$ 垂直，则直线 $l_{1}$ 在 $x$ 轴上的截距是.

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于A ， B两点， $| A B | = 6$ ，则 $| A F_{2} | + | B F_{2} | =$ .

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16. 如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = x$ ，圆 $E ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ ， $A$ ， $B$ 为抛物线上的两点， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，则直线 $A B$ 被圆 $E$ 所截的弦长最小值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = 60 ° ， C D = C C_{1} = 2 ， \vec{C D} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b} ， \vec{C C_{1}} = \vec{c} .$

(1)、用空间的一个基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示 $\vec{A C_{1}}$ ，并求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求异面直线 $C A_{1}$ 与 $D C_{1}$ 所成角的余弦值．

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18. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的内切圆 $O_{1}$ 上的动点．

(1)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点N ，使得 $A M ⊥ N M$ 恒成立，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由；

(2)、当点M落在线段 $B_{1} D_{1} ($ 靠近 $D_{1}$ 点 $)$ 上时，求二面角 $A - M B - C$ 的余弦值．

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19. 已知圆 $M$ 经过 $A (1 ， 5) ， B (4 ， 2) ， C (\sqrt{5} + 1 ， 0)$ 三点.

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、已知斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 经过第三象限，且与圆 $M$ 交于点 $E ， F$ ，求 $△ E F M$ 的面积的取值范围.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知两点 $S (4 ， 0) ， T (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P S | = 2 | P T |$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ .如图，动直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ （ $A ， B$ 均在 $x$ 轴上方），且 $∠ A T O + ∠ B T O = 18 0^{∘}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、当 $A$ 为曲线 $C$ 与 $y$ 轴正半轴的交点时，求直线 $l$ 的方程；

(3)、是否存在一个定点，使得直线 $l$ 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 和圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，点 $P$ 是圆 $O$ 上的动点，过点 $P$ 作椭圆的切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，切点为A ， B.

(1)、若点 $P$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，证明：直线 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ；

(2)、求O到直线 $A B$ 的距离的范围.

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22. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条浙近线方程为 $y = x$ ，且点 $P (\sqrt{6} ， \sqrt{2})$ 在双曲线上.

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、设双曲线左右顶点分别为 $A ， B$ ，在直线 $x = 1$ 上取一点 $P (1 ， t) (t \neq 0)$ ，直线 $A P$ 交双曲线右支于点 $C$ ，直线 $B P$ 交双曲线左支于点 $D$ ，直线 $A D$ 和直线 $B C$ 的交点为 $Q$ ，求证：点 $Q$ 在定直线上.

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福建省福州市闽清二中2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）