福建省福州市闽清二中2023-2024学年高三上学期1月考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} {(m - 1)}^{x} ， x < 1 \\ l o g_{5 - m} x + 2 ， x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上是增函数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $[3 ， 4)$ D、 $(2 ， 3]$

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2. 已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，角 $α$ 的终边经过点 $(3 ， 4)$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{3})$ 的值是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ B、 $\frac{8 - 5 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$

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3. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧棱 $P A = P B = P C = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{3} ， ∠ B A C = \frac{2 π}{3} ，$ 则其外接球的表面积是（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{64 π}{3}$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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4. 2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组 $[12 ， 13)$ ，第二组 $[13 ， 14)$ ， …，第六组 $[17 ， 18]$ ，得到如下频率分布直方图，则该100名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是（）

A、15.2 15.4 B、15.1 15.4 C、15.1 15.3 D、15.2 15.3

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5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的虚轴长与实轴长的差为2，点 $A (0 ， a)$ ， $B (b ， 0)$ ，坐标原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5} a$ ，则 $C$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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6. 定义：在数列 ${a_{n}}$ 中，若对任意的 $n \in N_{+}$ 都满足 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = d (d$ 为常数 $)$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为等差比数列．已知等差比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 3$ ，则 $\frac{a_{2023}}{a_{2021}} =$ （）

A、 $4 \times 202 2^{2} - 1$ B、 $4 \times 202 1^{2} - 1$ C、 $4 \times 202 0^{2} - 1$ D、 $4 \times 202 0^{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R ，及 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (1 - 2 x)$ ， $g (2 + x)$ 均为偶函数，则下列说法正确的是（）．

A、 $f (1) = 0$ B、 $g (x)$ 的周期为2 C、 $f (- 1) = f (3)$ D、 $g (0) = g (2)$

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8. 2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（）种．

A、144 B、72 C、36 D、24

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $2 α$ 是第一象限角，则 $t a n α > 0$ B、终边经过点 $(m ， m) ， (m \neq 0)$ 的角的集合是 ${α | α = \frac{π}{4} + 2 k π ， k \in Z}$ C、对 $\forall α \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ， $\sqrt{1 - s i n^{2} α} = c o s α$ 恒成立 D、若 $s i n α + c o s α = \frac{1}{5}$ ，且 $0 < α < π$ ，则 $s i n^{4} α - c o s^{4} α = \frac{7}{25}$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E ， F$ ，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A C ⊥ B E$ B、 $E F / /$ 平面ABCD C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、 $△ A E F$ 的面积与 $△ B E F$ 的面积相等

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11. 函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{x^{2} + a}$ 的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 下列关于随机变量 $X$ 的说法正确的是（）

A、若 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， 2)$ ，则 $D (2 X + 2) = 8$ B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (2 ， p)$ ，且 $P (X \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，若 $P (Y < 0) = \frac{p}{2}$ ，则 $P (2 < Y < 4) = \frac{2}{3}$ C、若 $X$ 服从超几何分布 $H (4 ， 2 ， 10)$ ，则期望 $E (X) = \frac{4}{5}$ D、若 $X$ 服从二项分布 $B (4 ， \frac{1}{3})$ ，则方差 $D (X) = \frac{8}{9}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，在区间 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，且满足 $f (3) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x) + f (- x)}{x} < 0$ 的解集为.

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14. 已知圆锥的顶点为 $S$ ，母线 $S A ， S B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$ ， $S A$ 与圆锥底面所成角为 $4 5^{∘}$ ，若 $△ S A B$ 的面积为 $\frac{4}{5}$ ，则该圆锥的侧面积为．

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15. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1$ （ $a_{2} > 0$ ， $b_{2} > 0$ ）具有相同的左、右焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 为它们在第一象限的交点，动点 $Q$ 在曲线 $C_{1}$ 上，若记曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，满足 $e_{1} \cdot e_{2} = 1$ ，且直线 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴的交点的坐标为 $(0 ， \frac{3 a_{2}}{2})$ ，则 $∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (l o g_{2} (x + 2)) + f (l o g_{2} (x - 2)) > 0$ .

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18. 如图，在正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中，E是 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、设正方体的棱长为1，求三棱锥 $B - A E C$ 的体积．

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19. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ .

(1)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 的模；

(2)、若 $λ \vec{a} - 6 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 互相垂直，求λ的值.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．① $b = \sqrt{2} c s i n (A + \frac{π}{4})$ ， ② $S = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ， ③ $b = a s i n C + c c o s A$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $2 π$ ，求 $S$ 的最大值．

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4$ ， $2 a_{4} - a_{5} = 7$ ，公比不为 $- 1$ 的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{3} = 4$ ， $b_{4} + b_{5} = 8 (b_{1} + b_{2})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{3}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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22. 某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：

良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300

(1)、通过计算判断，是否有 $90 %$ 的把握认为产品质量与生产线有关系？

(2)、现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数 $X$ 的分布列和数学期望．
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中 $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ ．

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23. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线为 $y = x$ ，且双曲线 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、记 $O$ 为坐标原点，过点 $Q (0 ， 2)$ 且斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $M ､ N$ ，求 $△ O M N$ 的面积.

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	良	优	合计
甲生产线	40	80	120
乙生产线	80	100	180
合计	120	180	300

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

福建省福州市闽清二中2023-2024学年高三上学期1月考试数学试题

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）