福建省福州市闽清二中2023-2024学年高一上学期2024年1月考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集 $U = {x ∣ - 4 < x < 4}$ ， $A = {x ∣ - 3 \leq x < 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x \leq 2}$ B、 ${x ∣ - 3 \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ - 4 < x < - 3$ 或 $2 \leq x < 4}$ D、 ${x ∣ - 4 < x \leq - 3$ 或 $2 < x < 4}$

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2. 下列结论中不正确的是（）

A、“ $x < 4$ ”是“ $x < - 2$ ”的必要不充分条件 B、在 $△ A B C$ 中，“ $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 为直角三角形”的充要条件 C、若 $a ， b \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ”是“ $a ， b$ 不全为 $0$ ”的充要条件 D、“ $x$ 为无理数”是“ $x^{2}$ 为无理数”的必要不充分条件

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3. 若 $x > 1$ ，则函数 $f (x) = 9 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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4. 若不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集是 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ ，则不等式 $c x^{2} - 2 x + a \leq 0$ 的解集是（　）

A、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3}]$ B、 $[- \frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ C、 $[- 2 ， 3]$ D、 $[- 3 ， 2]$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2023) =$ （）

A、 $- 2023$ B、2 C、0 D、2023

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6. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a + a^{x} ， x \geq 0 \\ 3 + (a - 1) x ， x < 0 \end{array}$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 满足对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 《九章算术》中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，弧田是由弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和弦 $A B$ 所围成的弓形部分（如图阴影部分）.若弧田所在扇形的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，扇形的面积为 $12 π$ ，则此弧田的面积为（）

A、 $12 π - 9$ B、 $12 π - 9 \sqrt{3}$ C、 $6 π$ D、 $6 π - 9$

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8. 如果 $α$ ， $β$ 满足 $α + β = π$ ，那么下列式子中正确的个数是（）
① $s i n α = s i n β$ ；② $s i n α = - s i n β$ ；③ $c o s α = - c o s β$ ；④ $c o s α = c o s β$ ；⑤ $t a n α = - t a n β$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

9. 如图，已知矩形 $U$ 表示全集， $A ， B$ 是 $U$ 的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A、 $(∁_{U} A) \cap B$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $∁_{B} (A ∩ B)$ D、 $∁_{(A ∪ B)} (A ∩ B)$

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10. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $| a | > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $(a - b) c^{2} > 0$ ，则 $a > b$ D、若 $\frac{1}{b} > \frac{1}{| a |}$ ，则 $a > b$

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11. 下列幂函数中满足条件 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 的函数是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = \sqrt{x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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12. 给出下列说法，正确的有（）

A、函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (6 + x - 2 x^{2})$ 单调递增区间是 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$ B、已知 $f (x) = l g (x^{2} + 2 x + a)$ 的定义域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是 $a > 1$ C、若函数 $f (x) = \frac{k - 3^{x}}{1 + 3^{x}}$ 在定义域上为奇函数，则 $k = 1$ D、若函数 $f (x) = l n (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 在定义域上为奇函数，且为增函数

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若命题“ $\exists a < 0$ ， $a + \frac{1}{a} > b$ ”是假命题，则实数 $b$ 的取值范围为．

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14. 已知 $π < α + β < \frac{4 π}{3}$ ， $- π < α - β < - \frac{π}{3}$ ，求 $2 α - β$ 的取值范围为.

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15. 已知 $y = f (x)$ 是偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x$ ，且 $f (3) = 3$ ，则 $a =$ .

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16. 已知 $α$ 为钝角， $β$ 为钝角满足 $c o s α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， s i n β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $α + β =$ ．

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四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x + 4 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ 2 - m \leq x \leq 2 + m}$ .

(1)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设 $p ： x \in A$ ， $q ： x \in B$ ，若 $q$ 是 $p$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = a^{2} x^{2} + 2 a x - a^{2} + 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、是否存在实数 $x$ ，使得不等式 $a^{2} x^{2} + 2 a x - a^{2} + 1 \geq 0$ 对满足 $a \in [- 2 ， 2]$ 的所有 $a$ 恒成立？若存在，求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，对 $\forall x$ ， $y \in (0 ， + \infty)$ 总有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 成立.若 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (2) = 2$ ，求解关于 $x$ 的不等式 $f (\frac{8}{x}) - f (x - 1) < 4$ 的解集.

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20. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有 $A ， B$ 两种型号的挖掘机，已知3台 $A$ 型和5台 $B$ 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台 $A$ 型和7台 $B$ 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台 $A$ 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台 $B$ 型挖掘机一小时的施工费用为180元.

(1)、分别求每台 $A$ 型， $B$ 型挖掘机一小时挖土多少立方米？

(2)、若不同数量的 $A$ 型和 $B$ 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？

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21. 若函数 $f (x) = 1 - \frac{a}{2^{x} + 1}$ 为定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值，并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在实数 $x \in [- 1 ， 1]$ 使得不等式 $f (k \cdot 4^{x}) + f (1 - 2^{x + 1}) \geq 0$ 能成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) - 1$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象两相邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，若将 $f (x)$ 的图象上每个点先向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数 $g (x)$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ ， ${[f (x)]}^{2} - (2 + m) f (x) + 2 + m \leq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = 2 f (x) + 3$ 的图象在区间 $[a ， b]$ （ $a ， b \in R$ 且 $a < b$ ）上至少含有 $30$ 个零点，在所有满足条件的区间 $[a ， b]$ 上，求 $b - a$ 的最小值.

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福建省福州市闽清二中2023-2024学年高一上学期2024年1月考试数学试题

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）