湖北省荆州市公安县2023-2024学年高三上学期1月质检模拟1数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x \in N^{*} | \sqrt{x} \leq 2}$ ，集合 $B = {y | y = x^{2} + 2}$ ，则 $A ∩ B =$

A、 $[1 ， 4]$ B、 $[2 ， 4]$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + 3 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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3. 已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $(2 ， - 3)$ ，且经过点 $(3 ， 1)$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x + 2 y - 3 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 11 = 0$ C、 $2 x - 3 y - 1 = 0$ D、 $3 x + 2 y + 3 = 0$

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4. 若不等式 $x^{2} - a x + 4 \leq 0$ 对任意 $x \in [1 ， 3]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq 5$ B、 $a \geq 4$ C、 $a > 4$ D、 $a \geq \frac{13}{3}$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 和双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的公共焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，在第一象限内的交点为 $P$ ，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} =$ （）

A、-4 B、-6 C、-8 D、-9

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6. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到 $A ， B ， C ， D$ 四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在 $A$ 社区的不同安排方法数为（）

A、24 B、36 C、60 D、96

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7. 已知公比不为1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， m ， r ， t \in N^{*}$ ，记 $p$ ： $S_{m} ， S_{r} ， S_{t}$ 为等差数列； $q$ ：对任意自然数 $k ， a_{m + k} ， a_{r + k} ， a_{t + k}$ 为等差数列，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $α ， β$ 都是锐角，若 $α ， β ， α + β$ 的始边都与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边分别与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 交于点 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， (x_{3} ， y_{3})$ ，且满足 $y_{2} = y_{1} x_{3}$ ，则当 $β$ 最大时， $t a n 2 β$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩
$84$
$72$
$80$
$68$
$76$
则下列结论正确的为

A、这 $5$ 位同学成绩的中位数是 $80$ B、这 $5$ 位同学成绩的平均数是 $76$ C、这 $5$ 位同学成绩的第 $75$ 百分位数是 $80$ D、若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变

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10. 已知直线 $l ： k x + 1 + 2 k - y = 0$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 8$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 2 ， 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $O$ 有两个交点 C、存在直线 $l$ 与直线 $l_{0} ： x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 D、直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的最短弦长为 $2 \sqrt{2}$

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11. 若函数 $f (x) = a l n x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}} ， (a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（）

A、 $b c < 0$ B、 $a b < 0$ C、 $b^{2} + 8 a c > 0$ D、 $a c < 0$

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12. 下列物体，能够被半径为 $2 m$ 的球体完全容纳的有（）

A、所有棱长均为 $3 m$ 的四面体 B、底面棱长为 $1 m$ ，高为 $3.6 m$ 的正六棱锥 C、底面直径为 $1.6 m$ ，高为 $3.8 m$ 的圆柱 D、上､下底面的边长分别为 $1 m ， 2 m$ ，高为 $3 m$ 的正四棱台

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. $(2 x^{2} - 3 x) {(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中含 $x$ 的项的系数为.

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 2$ ，则向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为. $($ 用 $\vec{a}$ 表示 $)$

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15. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足：① $f (2) = 0$ ；②值域为 $[- 1 ， 1]$ ；③对任意 $x \in R$ ，有 $f (x) + f (x + 2) = 0$ 及 $f^{'} (x) = f^{'} (4 - x)$ ，请写出同时满足上述所有条件的一个函数解析式： $f (x) =$ .

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16. 如图，在平面凸四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ， $C D = 1$ ， $B C = 2$ ， $A D = B D$ ， $∠ B C D$ 为钝角，则对角线 $A C$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， (a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

(1)、求 $C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最小值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{3} = \frac{5}{27}$ ，且数列 ${3^{n} a_{n}}$ 是等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B$ $/ /$ $C D ， D A = D C = 2$ ， $A B = C_{1} D_{1} = 1 ， ∠ B A D = 60 ° ， D_{1} D ⊥ A D ， A B ⊥ B D_{1}$ .

(1)、证明： $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{21}{8}$ ，求二面角 $B - C C_{1} - D$ 的余弦值.

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20. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，且顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .已知直线 $l$ 过点 $(0 ， - 1)$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左，右两支的交点分别为 $M ， N$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的渐近线的交点为 $P ， Q$ ，其中点 $Q$ 在 $y$ 轴的右侧.设 $△ O M P ， △ O P Q ， △ O Q N$ 的面积分别是 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求 $\frac{S_{2}}{S_{1} + S_{3}}$ 的取值范围.

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21. 某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的 $n (n \geq 3)$ 位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第n-1位员工再从第n-1个暗盒里面取出1个球并放入第 $n$ 个暗盒里.第 $n$ 位员工从第 $n$ 个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第 $i (1 \leq i \leq n)$ 位员工获得奖金为 $X_{i}$ 元.

(1)、求 $X_{2} = 1000$ 的概率；

(2)、求 $X_{i}$ 的数学期望 $E (X_{i})$ ，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x - 1 (a < 0)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求证：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ；

(2)、讨论函数 $g (x) = f (x) + a x c o s x$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的零点个数.

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学生	甲	乙	丙	丁	戊
成绩	$84$	$72$	$80$	$68$	$76$