山东省潍坊市昌乐第一名校2024届高三上学期数学模拟预测试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $z_{1} (1 ， 1) ， z_{2} (0 ， 1) ，$ 则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- i$ C、 $i$ D、 $- 1$

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2. “ $s i n α = c o s α$ ”是“ $α = \frac{π}{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若正数 $a ， b$ 满足 $a b = a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的取值范围是（）

A、 $[6 ， + \infty)$ B、 $[9 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 6]$ D、 $(0 ， 9)$

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4. 具有线性相关关系的变量 $x ， y$ 的一组数据如下：
x
0
1
2
3
y
-5
-4.5
-4.2
-3.5
其线性回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则回归直线经过（）

A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限

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5. 已知点 $M (2 ， 4)$ 在抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ )上，点M到抛物线C的焦点的距离是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{A E} + 2 \vec{D E} = \vec{0}$ ，若 $\vec{E B} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = - 2 x$ C、 $x = 2 y$ D、 $x = - 2 y$

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7. 已知奇函数 $f (x)$ 是 $R$ 上增函数， $g (x) = x f (x)$ ，则（）

A、 $g (l o g_{3} \frac{1}{4}) > g (2^{- \frac{3}{2}}) > g (2^{- \frac{2}{3}})$ B、 $g (l o g_{3} \frac{1}{4}) > g (2^{- \frac{2}{3}}) > g (2^{- \frac{3}{2}})$ C、 $g (2^{- \frac{3}{2}}) > g (2^{- \frac{2}{3}}) > g (l o g_{3} \frac{1}{4})$ D、 $g (2^{- \frac{2}{3}}) > g (2^{- \frac{3}{2}}) > g (l o g_{3} \frac{1}{4})$

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点， $\vec{| P F_{1} |} = 2 \vec{| P F_{2} |} = 2 m$ ， ( $m > 0$ )， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = m^{2}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．

9. 下列命题中的真命题是（）

A、 $\forall x \in R ， 2^{x - 1} > 0$ B、 $\forall x \in N^{*} ， {(x - 1)}^{2} > 0$ C、 $\exists x_{0} \in R ， \lg x_{0} < 1$ D、 $\exists x_{0} \in R ， \tan x_{0} = 2$

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10. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 具有性质（）

A、在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增，为偶函数 B、最大值为1，图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{2}$ 对称 C、在 $(- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8})$ 上单调递增，为奇函数 D、周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称

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11. 已知 $m 、 n$ 为两条不重合的直线， $α 、 β$ 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m//α ， n//β$ 且 $α//β ，$ 则 $m//n$ B、若 $m//n ， m ⊥ α ， n ⊥ β ，$ 则 $α//β$ C、若 $m//n ， n \subset α ， α//β ， m ⊄ β ，$ 则 $m//β$ D、若 $m//n ， n ⊥ α ， α ⊥ β ，$ 则 $m//β$

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12. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并满足条件 $a_{1} > 1$ ， $a_{2019} a_{2020} > 1$ ， $\frac{a_{2019} - 1}{a_{2020} - 1} < 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $S_{2019} < S_{2020}$ B、 $S_{2019} S_{2020} - 1 < 0$ C、 $T_{2020}$ 是数列 ${T_{n}}$ 中的最大值 D、数列 ${T_{n}}$ 无最大值

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知直线 $x - y + a = 0$ 与圆 $o ： x^{2} + y^{2} = 2$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点（ $O$ 为坐标原点），且 $△ A O B$ 为等腰直角三角形，则实数 $a$ 的值为；

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14. 已知直线 $y = x + 2$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 相切，则 $a$ =

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15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足． $N = N_{0} \cdot 2^{\frac{- t}{5730}} (N_{0}$ 表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 $\frac{3}{7}$ 至 $\frac{1}{2} ，$ 据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)

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16. 已知四面体 $A B C D$ 中， $A B = A D = B C = D C = B D = 5 ， A C = 8$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积为

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $Δ A B C$ ， a ， b ， c分别为内角A ， B ， C的对边，且 $8 a b s i n C = 3 (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，若 $a = \sqrt{10}$ ， $c = 5$ .

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积S.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1 ， S_{n + 1} - 2 S_{n} = 1 ， n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： ${S_{n} + 1}$ 为等比数列，求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形， $B E ⊥$ 平面ABCD ， $C C_{1} ⊥$ 平面ABCD ， $D F ⊥$ 平面ABCD ， $A F / / E C_{1}$ ，且AB=4，BC=2， $C C_{1} = 3$ ， BE=1．

(1)、求BF的长；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A E C_{1} F$ 成的角的正弦值．

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20. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：
方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；
方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.

(1)、设日收费为 $y$ （单位：元），每天需要用药的猪的数量为 $n \in N$ ，试写出两种方案中 $y$ 与 $n$ 的函数关系式.

(2)、若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下 $2 \times 2$ 列联表.

9月份
10月份
合计
未发病
40
85
125
发病
65
20
85
合计
105
105
210
根据以上列联表，判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$
$p (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6635
10.828

(3)、当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - a + \frac{a}{x} (a > 0)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处与 $x$ 轴相切，求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， e)$ 上的零点个数．

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22. 给定椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，称圆心在原点 $O$ 、半径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的圆是椭圆 $C$ 的“卫星圆”，若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(2 ， \sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和其“卫星圆”方程；

(2)、点 $P$ 是椭圆 $C$ 的“卫星圆”上的一个动点，过点 $P$ 作直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，与椭圆 $C$ 都只有一个交点，且 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交其“卫星圆”于点 $M$ 、 $N$ ，证明：弦长 $| M N |$ 为定值.

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	9月份	10月份	合计
未发病	40	85	125
发病	65	20	85
合计	105	105	210

x	0	1	2	3
y	-5	-4.5	-4.2	-3.5

$p (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6635	10.828