江西省2023-2024学年高三上学期1月新高考“七省联考”考前数学猜题卷一

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 1$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 下列关于复数的说法，正确的是（）

A、复数 $i$ 是最小的纯虚数 B、在复数范围内，模为1的复数共有 $1 ， - 1 ， i$ 和 $- i$ 四个 C、 $i$ 与 $- i$ 是一对共轭复数 D、虚轴上的点都表示纯虚数

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3. 已知圆 $O$ 的半径为2，弦 $M N$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ ，若 $2 \vec{M P} = \vec{P N}$ ，则 $\vec{M O} \cdot \vec{O P} =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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4. 调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为 $f (x) = \frac{s i n 2 x}{e^{x} - 1}$ ，它的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{8}$ B、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 已知双曲线 $C ： x^{2} - y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于A ， B两点， $O$ 为坐标原点，若点 $P$ 在直线 $l$ 上且直线OP把 $△ O A B$ 分成面积相等的两部分，则下列不能作为点 $P$ 的坐标的是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$

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7. 已知半径为 $R$ 的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为 $a$ ，当正四棱锥的高为 $h$ 时，正四棱锥的体积取得最大值 $V$ ，则（）

A、 $h = 2 a$ B、 $h = \frac{3}{2} a$ C、 $h = a$ D、 $h = \frac{1}{2} a$

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8. 设正数 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4$ ，当 $i ， j \in {1 ， 2 ， 3} ， i \neq j$ 时，恒有 $2 x_{i}^{2} + 2 x_{j}^{2} - 5 x_{i} x_{j} \leq 0$ ，则乘积 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{50}{27}$ B、2 C、 $\frac{64}{27}$ D、 $\frac{256}{125}$

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二、多选题（共20分）

9. 近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为 $50$ 万人，从该县随机选取 $5000$ 人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下 $5$ 组： $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、 $⋯$ 、 $[90 ， 100]$ ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分 $X$ （单位：分）近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，且 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9974$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数， $σ$ 近似为样本的标准差 $s$ ，并已求得 $s = 12$ .则（）

A、由直方图可估计样本的平均数约为 $74.5$ B、由直方图可估计样本的中位数约为 $75$ C、由正态分布可估计全县 $X \geq 98.5$ 的人数约为 $2.3$ 万人 D、由正态分布可估计全县 $62.5 \leq X < 98.5$ 的人数约为 $40.9$ 万人

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10. 已知圆 $G ： (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3$ ，直线 $l ： m x - n y = 0$ （ $m ， n \in R$ 且 $m ， n$ 不同时为0），下列说法正确的是（）

A、当直线 $l$ 经过 $(- 1 ， 1)$ 时，直线 $l$ 与圆 $G$ 相交所得弦长为 $\sqrt{10}$ B、当 $m = 0$ 时，直线 $l^{'}$ 与 $l$ 关于点 $G$ 对称，则 $l^{'}$ 的方程为： $y = 4$ C、当 $n = 0$ 时，圆 $G$ 上存在4个点到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、过点 $G$ 与 $l$ 平行的直线方程为： $m x - n y - m - 2 n = 0$

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{B P} = \frac{1}{2} \vec{B C} ， \vec{C Q} = \frac{1}{2} \vec{C C_{1}}$ ，点M为棱 $A B$ 上一动点（可与端点重合），则（）

A、当点M与点A重合时， $M ， P ， Q ， D_{1}$ 四点共面且 $S_{M P Q D_{1}} = 4$ B、当点M与点B重合时， $c o s ⟨ \vec{D_{1} M} ， \vec{P Q} ⟩ = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、当点M为棱 $A B$ 的中点时， $A_{1} M ⊥$ 平面 $M P Q$ D、直线 $C D$ 与平面 $M P Q$ 所成角的正弦值存在最小值 $\frac{1}{3}$

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12. 已知实数m ， n满足 $\frac{m e^{m}}{4 n^{2}} = \frac{l n n + l n 2}{e^{m}}$ ，且 $e^{2 m} = \frac{1}{m}$ ，则（）

A、 $n = \frac{e^{m}}{2}$ B、 $m n^{2} = 1$ C、 $m + n < \frac{7}{5}$ D、 $1 < 2 n - m^{2} < \frac{3}{2}$

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三、填空题（共20分）

13. 在高中数学第一册我们学习“集合的子集”时知道，若一个集合有 $n (n \in N_{+})$ 个元素，则该集合的子集（包括含有0个元素（空集），1个元素，2个元素，…， $n$ 个元素）个数共有 $2^{n}$ 个，请你结合你所学习的二项式定理的有关知识写出关于子集个数为 $2^{n}$ 个的计算等式．

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14. 若数列a ， 27， $- 9$ ， b ， $- 1$ 为等比数列，则 $\sqrt{{(b - π)}^{2}} - {(3 a)}^{\frac{1}{5}} =$ ．

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15. 椭圆 $O ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的弦 $A B$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，记坐标原点 $O$ 在 $A B$ 的射影为 $M$ ，则到直线 $x + y = 1$ 的距离为1的点 $M$ 的个数为.

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16. 对 $\forall x \in (\frac{1}{e} ， + \infty)$ ，都有关于 $x$ 的不等式 $l n (l n a x + 1) - x + 1 \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的值可以是．

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四、解答题（共70分）

17. 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A ， B两点间的距离是多少？

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18. 已知点 $A_{1} (1 ， 2)$ ， $A_{2} (2 ， 3)$ ，设 $A_{n} (a_{n} ， b_{n}) (n \in N^{*})$ ，当 $n \geq 3$ 时，线段 $A_{n - 2} A_{n - 1}$ 的中点为 $B_{n}$ ， $B_{n}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点为 $A_{n}$ .例如， $B_{3}$ 为线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点，则 $B_{3} (\frac{3}{2} ， \frac{5}{2})$ ， $A_{3} (\frac{5}{2} ， \frac{3}{2})$ .

(1)、设 $c_{n} = a_{n + 1} + b_{n + 1} - a_{n} - b_{n}$ ，证明： ${c_{n}}$ 是等比数列.

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的通项公式.

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19. 如图，在圆台 $O^{'} O$ 中，截面 $E F B C$ 分别交圆台的上下底面于点 $E$ ， $C$ ， $F$ ， $B$ 四点.点 $A$ 为劣弧 $B F$ 的中点.

(1)、求过点 $A$ 作平面 $α$ 垂直于截面 $E F B C$ ，请说明作法，并说明理由；

(2)、若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3， $∠ B O F = 120 °$ ，求平面 $α$ 与平面 $C A B$ 所成夹角的余弦值.

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20. 多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.

(1)、写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；

(2)、求小李同学当天穿连衣裙的概率.

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21. 将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为 $C$ .记曲线 $C$ 与 $x$ 轴负半轴和 $y$ 轴正半轴分别交于 $A ､ B$ 两点， $M (t ， 0) (- 4 \leq t \leq - 1)$ 为 $x$ 轴上一点.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、连接 $B M$ 交曲线 $C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $C$ 于另一点 $E$ .记 $△ A E M$ 的面积为 $S_{1}$ ，记 $△ A E B$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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22. 若函数 $f (x)$ 在定义域内存在两个不同的数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，同时满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处的切线斜率相同，则称 $f (x)$ 为“切合函数”.

(1)、证明： $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ 为“切合函数”；

(2)、若 $g (x) = x l n x - \frac{1}{e} x^{2} + a x$ 为“切合函数”（其中 $e$ 为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
（ⅰ）求证： $x_{1} x_{2} < \frac{e^{2}}{4}$ ；
（ⅱ）求证： $(a + 1)^{2} x_{1} x_{2} - \sqrt{x_{1} x_{2}} < \frac{3}{4}$ .

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