安徽省淮北市2024届高三上学期12月第一次质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x | - 5 < x < 2}$ ， $B = {x | | x + 3 | < 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 5 ， 0)$ B、 $(- 6 ， 2)$ C、 $(- 6 ， 0)$ D、 $(- 5 ， 2)$

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2. 已知复数 $z = \frac{7 + i}{3 + 4 i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ ，且 $n \subset α$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $m ⊥ n$ ，且 $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ C、若 $m ∥ α$ ，且 $m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ，且 $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 记 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则“ ${a_{n}}$ 是递增数列”是“ ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知定义在 $R$ 上奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (l o g_{2} 36) =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{16}{9}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{8}{9}$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 2$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 已知 $a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ， $b = s i n \frac{1}{2}$ ， $c = l o g_{3} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8. 已知方程 $(x - 1) l n x - k (x + 1) = 0$ 有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则（）

A、 $k < 0$ B、 $k ≥ 1$ C、 $x_{1} x_{2} = 1$ D、 $x_{1} + x_{2} < 2$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > c$ ，则 $a + b > c$ B、若 $a > b > | c |$ ，则 $a^{2} > b^{2} > c^{2}$ C、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3})$ ， $g (x) = s i n ω x (ω > 0)$ ，（）

A、存在实数 $m$ 使得 $f (x)$ 在 $(0 ， m)$ 单调递减 B、若 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称，则 $ω$ 的最小值为2 C、若 $ω = 2$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可以得到 $g (x)$ 的图象 D、若 $ω = 2$ ， $f (x) + g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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11. 如图，边长为2的正六边形 $A B C D E F$ ，点 $P$ 是 $△ D E F$ 内部（包括边界）的动点， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ， $x$ ， $y \in R$ .（）

A、 $\vec{A D} - \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0}$ B、存在点 $P$ ，使 $x = y$ C、若 $y = \frac{3}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为2 D、 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最小值为 $- 2$

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12. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在球心为 $O$ ，半径为5的球面上，且满足 $A B = 6$ ， $C D = 8$ ，设 $A B$ ， $C D$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，则（）

A、点 $N$ 有可能在 $A B$ 上 B、线段 $M N$ 的长有可能为7 C、四面体 $O A B C$ 的体积的最大值为20 D、四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为56

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $s i n α + c o s α = - \frac{1}{5}$ ， $α \in (0 ， π)$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{1}{13}$ ， $a_{1} + 2$ ， $S_{13}$ 成等比数列，则 $\frac{S_{7}}{a_{1}}$ 的最小值为.

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 准线为 $l$ ，焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 在抛物线上，点 $C$ 在 $l$ 上，满足： $\vec{A F} = λ \vec{F B}$ ， $\vec{A B} = μ \vec{B C}$ ，若 $λ = 3$ 则实数 $μ =$ .

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16. 记不超过 $x$ 的最大整数为 $[x]$ .若函数 $f (x) = | 2 x - [2 x + t] |$ 既有最大值也有最小值，则实数 $t$ 的值可以是（写出满足条件的一个 $t$ 的值即可）.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 s i n B - s i n C = 2 s i n A c o s C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，且 $| C D | = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $O A ⊥ B C$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为2的等边三角形，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E D}$ ，且平面 $B C E$ 与平面 $B C D$ 夹角的正切值为 $\frac{3}{5}$ ，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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19. 某市随着东部新城迅猛发展，从老城区到新城区的道路交通压力变大.某高中数学建模小组调查了新城上班族 $S$ 从居住地到工作地的平均用时，上班族 $S$ 中的成员仅以公交或自驾的方式通勤，分析显示：当 $S$ 中 $x %$ （ $0 < x < 100$ ）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间与 $x$ 满足函数关系为：
$f (x) = {\begin{cases} 30 ， 0 < x ≤ 30 \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 ， 30 < x < 100 \end{cases}$ （单位：分钟）.
而公交群体的人均通勤时间不受 $x$ 影响，恒为40分钟.

(1)、当 $x$ 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)、求新城上班族 $S$ 的人均通勤时间 $g (x)$ 的表达式，讨论 $g (x)$ 的单调性，并说明其实际意义.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 为递增的等比数列， $b_{n} = {\begin{cases} a_{n} + 2 ， n 为奇数 \\ \frac{1}{2} a_{n} ， n 为偶数 \end{cases}$ ，记 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的前项和， $S_{3} - a_{2} = 5$ ， $T_{3} = 10$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明：当 $n > 5$ 时， $S_{n} > T_{n}$ .

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21. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 是椭圆上一点， $| M F_{1} | = 2$ ， $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $N (1 ， 1)$ 的直线与椭圆交于 $P$ ， $Q$ 两点， $R$ 为线段 $P Q$ 中点， $O$ 为坐标原点，射线 $O R$ 与椭圆交于点 $S$ ，点 $G$ 为直线 $O R$ 上一动点，且 $\vec{O R} \cdot \vec{O G} = 2 {\vec{O S}}^{2}$ ，求证：点 $G$ 在定直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - x$ ， $g (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + a$ ，（ $a \in R$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 有两个不同极值点，分别记为 $m$ ， $n$ ，且 $m < n$ .
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）若不等式 $m n^{k} > e^{k + 1}$ 恒成立（ $e$ 为自然对数的底数），求正数 $k$ 的取值范围.

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