安徽省2024届高三上学期“七省联考” 数学模拟练习（2）

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，集合 $B = {x | y = l n (x + 1)}$ ，则（）

A、 $A \subseteq ∁_{U} B$ B、 $∁_{U} A \subseteq B$ C、 $(∁_{U} A) ∪ B = U$ D、 $A \cup B = U$

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2. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时，f(x)= $\log_{2} (- x) + m$ ， f（ $\frac{1}{2}$ ）= $\sqrt{2}$ ，则实数 m=（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $- \sqrt{2} + 1$

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3. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师 $.$ 已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有 $5$ 位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）

A、 $300$ 种 B、 $240$ 种 C、 $180$ 种 D、 $120$ 种

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4. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = - 5$ ， $S_{6} = 21 S_{2}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 85$ B、 $85$ C、 $- 120$ D、 $120$

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5. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，从 $A B$ 上的一点 $P_{0}$ 发出的一束光沿着与 $A B$ 夹角为 $θ$ 的方向射到 $B C$ 上的 $P_{1}$ 点后，依次反射到 $C D$ 、 $D A$ 上的 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 点，最后回到 $P_{0}$ 点，则 $t a n θ$ 等于（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极值为 $10$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、 $- 4$ 或 $3$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |s i n π x| ， 0 \leq x \leq 2 \\ e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{i} (i = 1，2 ， 3，4 ， 5) .$ 当 $x_{i} < x_{i + 1} (i = 1，2 ， 3，4)$ 时，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4}) = f (x_{5}) .$ 则 $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} f (x_{i})$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{e^{6}}]$ B、 $[- \frac{1}{e^{5}} ， 0)$ C、 $(- \infty ， 4)$ D、 $[- \frac{1}{e^{5}} ， 4)$

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8. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右顶点为 $A$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上，点 $P$ 在椭圆上，且满足 $P Q ⊥ y$ 轴，四边形 $F_{1} A P Q$ 是等腰梯形，直线 $F_{1} P$ 与 $y$ 轴交于点 $N (0 ， \frac{\sqrt{3}}{4} b)$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若复数 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = - 1 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、若 $z_{1} + m (m \in R)$ 是纯虚数，那么 $m = - 2$ D、若 $z_{1}$ ， $\bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B} (O$ 为坐标原点 $)$ ，则 $| \vec{A B} | = 5$

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10. 如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $8 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ D、若 $A B = B C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $2 (\sqrt{3} + 1)$

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11. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为 $\frac{2}{7}$ ，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{3}$ ．记玩家第 $n$ 次抽盲盒，抽中奖品的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = \frac{19}{42}$ B、数列 ${P_{n} - \frac{3}{7}}$ 为等比数列 C、 $P_{n} \leq \frac{19}{42}$ D、当 $n \geq 2$ 时， $n$ 越大， $P_{n}$ 越小

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12. 已知点 $F$ 为抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，直线 $l$ 过点 $D (0 ， m) (m > 0)$ 交抛物线 $C$ 于 $A (x_{1} ， y_{1}) ，$ $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $| F A | = y_{1} + 1 .$ 设 $O$ 为坐标原点， $P (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， - m)$ ，直线 $P A ， P B$ 与 $x$ 轴分别交于 $M ， N$ 两点，则以下选项正确的是（）

A、 $p = 2$ B、若 $m = 1$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ C、若 $m = p$ ，则 $Δ O A B$ 面积的最小值为 $4 \sqrt{2}$ D、 $M ， N ， P ， F$ 四点共圆

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， λ)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $| 3 \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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14. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 $1000$ 多年的历史 $.$ 如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 $3$ 米的筒车按逆时针方向做每 $6$ 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心 $O$ 距离水面 $B C$ 的高度为 $1.5$ 米，设筒车上的某个盛水筒 $P$ 的初始位置为点 $D ($ 水面与筒车右侧的交点 $)$ ，从此处开始计时， $t$ 分钟时，该盛水筒距水面距离为 $H = f (t) = A s i n (ω x + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2} ， t \geq 0)$ ，则 $f (2023) =$ .

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15. 已知圆 $E$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，若 $A$ 为直线 $l$ ： $x + y + m = 0$ 上的点，过点 $A$ 可作两条直线与圆 $E$ 分别切于点 $B$ ， $C$ ，且 $△ A B C$ 为等边三角形，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为 $12 d m$ 的正方形铝板制作一个无底面的正 $n$ 棱锥 $($ 侧面为等腰三角形，底面为正 $n$ 边形 $)$ 道具，他们以正方形的几何中心为圆心， $6 d m$ 为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出 $m$ 份，再从中取 $n$ 份，并以 $O$ 为正 $n (n \geq 3)$ 棱锥的顶点，且 $O$ 落在底面的射影为正 $n$ 边形的几何中心 $O_{1} ， ∠ A_{1} O_{1} A_{2} = \frac{2 π}{n}$ ，侧面等腰三角形的顶角为 $∠ A_{1} O A_{2} = α$ ，当 $c o s ∠ A_{1} O_{1} A_{2} = 2 c o s α - 1$ 时，设正棱锥的体积为 $V d m^{3}$ ，则 $\frac{V}{n}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $∆ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∆ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，且 $\frac{b}{s i n A + s i n C} = \frac{a - c}{s i n B - s i n C} .$

(1)、求角 $A$ 的大小 $；$

(2)、记 $∆ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，求 $\frac{| \vec{A M} |^{2}}{S}$ 的最小值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} l o g_{2} a_{n} ， n 为奇数， \\ 2^{a_{n} + 2} ， n 为偶数 . \end{array}$

(1)、判断数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为361，记 $b_{n} = \frac{1}{(l o g_{2} a_{2 n + 1}) \cdot a_{2 n + 2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{7}{16}$ .

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19. 如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 $\frac{1}{4}$ 个圆柱拼接而成，点 $G$ 为弧 $C D$ 的中点，且 $C$ ， $E$ ， $D$ ， $G$ 四点共面．

(1)、证明：平面 $B D F ⊥$ 平面 $B C G$ ；

(2)、若平面 $B D F$ 与平面 $A B G$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，且线段 $A B$ 长度为 $2$ ，求点 $G$ 到直线 $D F$ 的距离．

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20. 第 $22$ 届世界杯于 $2022$ 年 $11$ 月 $21$ 日到 $12$ 月 $18$ 日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{2}{3}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数 $X$ 的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 $2$ 人中的 $1$ 人，接球者接到球后再等可能地随传向另外 $2$ 人中的 $1$ 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第 $n$ 次传球之前球在甲脚下的概率为 $p_{n}$ ，易知 $p_{1} = 1 ， p_{2} = 0$ ．
$①$ 试证明： ${p_{n} - \frac{1}{3}}$ 为等比数列；
$②$ 设第 $n$ 次传球之前球在乙脚下的概率为 $q_{n}$ ，比较 $p_{10}$ 与 $q_{10}$ 的大小．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，过点 $E (1，0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 左右两支分别交于 $M$ ， $N$ 两个不同的点 $($ 异于顶点 $)$ ．

(1)、若点 $P$ 为线段 $M N$ 的中点，求直线 $O P$ 与直线 $M N$ 斜率之积 $(O$ 为坐标原点 $) ；$

(2)、若 $A$ ， $B$ 为双曲线的左右顶点，且 $| A B | = 4$ ，试判断直线 $A N$ 与直线 $B M$ 的交点 $G$ 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由．

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22. 已知 $f (x) = {s i n}^{n} x$ ， $g (x) = l n x + m e^{x} (n$ 为正整数， $m \in R)$ 。

(1)、当 $n = 1$ 时，设函数 $h (x) = x^{2} - 1 - 2 f (x)$ ， $x \in (0 ， π)$ ，证明： $h (x)$ 有且仅有 $1$ 个零点；

(2)、当 $n = 2$ 时，证明： $\frac{f^{’} (x)}{2} + g (x) < (x + m) e^{x} - 1$ ．

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