上海市金山区2024届高三上学期一模数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩B= ．

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(- 1 ， \sqrt{3})$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ =.

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3. 不等式 $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$ 的解集为．

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4. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的离心率为．

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5. 已知角 $α$ ， $β$ 的终边关于原点O对称，则 $c o s (α - β) =$ ．

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6. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中 $m$ 的值．

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7. 设圆台的上底面和下底面的半径分别为 $r^{'} = 1$ 和 $r = 2$ ，母线长为 $l = 3$ ，则该该圆台的高为.

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8. 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为（结果用数值表示）．

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9. 已知函数 $y = s i n (ω x)$ ( $ω > 0$ )在区间 $[0 ， π]$ 上是严格增函数，且其图像关于点 $(4 π ， 0)$ 对称，则 $ω$ 的值为．

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10. 若 $(10 x + 6 y)^{3} = a x^{3} + b x^{2} y + c x y^{2} + d y^{3}$ ，则 $- a + 2 b - 4 c + 8 d =$ .

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11. 若函数 $f (x) = | (1 - x^{2}) (x^{2} + a x + b) | - c (c \neq 0)$ 的图像关于直线 $x = - 2$ 对称，且该函数有且仅有7个零点，则 $a + b + c$ 的值为．

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12. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 | \vec{b} - \vec{c} | = 2 ， | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | + | \vec{a} |$ ，且 $⟨ \vec{a} ， \vec{c} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围是．

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二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 对于实数 $a ， b ， c$ ，“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知事件A和B相互独立，且 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{3}{7}$ ，则 $P (A B) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{21}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{16}{21}$

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．

A、若 $E \in B D_{1}$ ， $F \in B D$ ，则 $E F ⊥ A C$ B、若 $E \in B D_{1}$ ， $F \in B D$ ，则平面 $B E F ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、若 $E \in A C$ ， $F \in C D_{1}$ ，则 $E F / /$ 面 $A_{1} B C_{1}$ D、若 $E \in A C$ ， $F \in C D_{1}$ ，则 $E F / /$ $A D_{1}$

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16. 设集合 $A = {1 ， 2 ， ⋯ ， 100}$ ， $X$ 、 $Y$ 均为 $A$ 的非空子集（允许 $X = Y$ ）． $X$ 中的最大元素与 $Y$ 中的最小元素分别记为 $M 、 m$ ，则满足 $M > m$ 的有序集合对 $(X ， Y)$ 的个数为（）．

A、 $2^{200} - 100 \cdot 2^{100}$ B、 $2^{200} - 101 \cdot 2^{100}$ C、 $2^{201} - 100 \cdot 2^{100}$ D、 $2^{201} - 101 \cdot 2^{100}$

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三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2 ， E$ 为 $P B$ 的中点， $F$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点．

(1)、证明： $E F$ //平面 $P C D$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A B F$ 的体积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $l o g_{2} a_{n + 1} = 1 + l o g_{2} a_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ．

(1)、求 $a_{10}$ 的值；

(2)、若数列 ${a_{n} + \frac{λ}{a_{n}}}$ 为严格增数列，其中 $λ$ 是常数，求 $λ$ 的取值范围．

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19. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．

(1)、为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角 $α$ 不能超过 $\frac{π}{4}$ ，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形 $A B C D$ ， $A D = 0.8 m$ ， $A B = 2.4 m$ ，而客户家门高度为 $2.3$ 米，其他过道高度足够．若以倾斜角 $α = \frac{π}{4}$ 的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．

(2)、由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为 $1.8$ 米．记此冰箱水平截面为矩形 $E F G H$ ， $E H = 1.2 m$ ．设 $∠ P H G = β$ ，当冰箱被卡住时(即点 $H$ 、 $G$ 分别在射线 $P R$ 、 $P Q$ 上，点 $O$ 在线段 $E F$ 上），尝试用 $β$ 表示冰箱高度 $E F$ 的长，并求出 $E F$ 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到 $0.1 m$ ）

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20. 已知三条直线 $l_{i} ： y = k x + m_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ， 3$ ）分别与抛物线 $Γ ： y^{2} = 8 x$ 交于点 $A_{i}$ 、 $B_{i}$ ， $T (t ， 0)$ 为 $x$ 轴上一定点，且 $m_{1} < m_{2} < m_{3} < - t$ ，记点 $T$ 到直线 $l_{i}$ 的距离为 $d_{i}$ ， △ $T A_{i} B_{i}$ 的面积为 $S_{i}$ ．

(1)、若直线 $l_{3}$ 的倾斜角为 $45 °$ ，且过抛物线 $Γ$ 的焦点 $F$ ，求直线 $l_{3}$ 的方程；

(2)、若 $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O B_{1}} = 0$ ，且 $k m_{1} \neq 0$ ，证明：直线 $l_{1}$ 过定点；

(3)、当 $k = 1$ 时，是否存在点 $T$ ，使得 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 成等比数列， $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ 也成等比数列？若存在，请求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，给定区间 $[a ， b] \subseteq D$ ，若存在 $x_{0} \in (a ， b)$ ，使得 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为区间 $[a ， b]$ 上的“均值函数”， $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“均值点” ．

(1)、试判断函数 $y = x^{2}$ 是否为区间 $[1 ， 2]$ 上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；

(2)、已知函数 $y = - 2^{2 x - 1} + m \cdot 2^{x - 1} - 12$ 是区间 $[1 ， 3]$ 上的“均值函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = \frac{x^{2} + a}{2 (x^{2} - 2 x + 2)}$ （常数 $a \in R$ ）是区间 $[- 2 ， 2]$ 上的“均值函数”，且 $\frac{2}{3}$ 为其“均值点” ．将区间 $[- 2 ， 0]$ 任意划分成 $m + 1$ （ $m \in N$ ）份，设分点的横坐标从小到大依次为 $t_{1} ， t_{2} ， ⋯ ， t_{m}$ ，记 $t_{0} = - 2$ ， $t_{m + 1} = 0$ ， $G = \sum_{i = 0}^{m} | f (t_{i + 1}) - f (t_{i}) |$ ．再将区间 $[0 ， 2]$ 等分成 $2^{n} + 1$ （ $n \in N$ ）份，设等分点的横坐标从小到大依次为 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{2^{n}}$ ，记 $H = \sum_{i = 1}^{2^{n}} f (x_{i})$ ．求使得 $H \cdot G > 2023$ 的最小整数 $n$ 的值．

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