内蒙古锡林郭勒盟2024届高三上学期第二次统一考试（全国乙卷）理科数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若 $z = 1 - 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z^{2} - 4 \bar{z} =$ （）

A、 $7 + 12 i$ B、 $- 7 - 12 i$ C、 $- 7 + 4 i$ D、 $- 7 - 4 i$

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2. 若全集 $U = R ， A = {x ∣ x < - 2} ， B = {y ∣ y = x^{2} - 2 x + 3}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $∁_{U} A \subseteq B$ D、 $B \subseteq ∁_{U} A$

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3. 造纸术是我国古代四大发明之一，纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以 $A 0 ， A 1 ， ⋯$ ， $A 10 ； B 0 ， B 1 ， ⋯ ， B 10$ 等标记来表示纸张的幅面规格，其中 $A$ 系列的幅面规格为：① $A 0$ 规格的纸张的幅宽（以 $x$ 表示）和长度（以 $y$ 表示）的比例关系为 $x ： y = 1 ： \sqrt{2}$ ；②将 $A 0$ 纸张沿长度方向对开成两等份，便成为 $A 1$ 规格， $A 1$ 纸张沿长度方向对开成两等份，便成为 $A 2$ 规格，的如此对开至 $A 8$ 规格.若 $A 4$ 纸的面积为 $624 c m^{2}$ ，则 $A 8$ 纸的面积为（）

A、 $39 c m^{2}$ B、 $78 c m^{2}$ C、 $4992 c m^{2}$ D、 $9984 c m^{2}$

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4. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C$ 是直角， $C A = 4 ， C B = 3 ， △ A B C$ 的内切圆与 $C A ， C B$ 分别切于点 $D ， E$ ，点 $P$ 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若 $\vec{C P} = x \vec{C D} + y \vec{C E}$ ，则 $x ， y$ 至少满足（）

A、 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ B、 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩾ 1$ C、 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} > 1$ D、 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} < 1$

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5. 若 $c o s (\frac{3 π}{2} - θ) = - 2 c o s (π + θ)$ ，则 $t a n 2 θ =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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6. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点，且与 $C$ 的对称轴垂直， $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 12 ， P$ 为 $C$ 的准线上一点，则 $△ A B P$ 的面积为（）

A、48 B、36 C、24 D、18

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7. ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中有常数项，则 $n$ 不可能为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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8. 已知四面体 $A B C D$ 的体积为3，从顶点 $B$ 出发的三条棱 $B A ， B C ， B D$ 两两垂直，若 $B A = 4$ ，则该四面体外接球表面积的最小值为（）

A、 $25 π$ B、 $50 π$ C、 $\frac{125}{6} π$ D、 $\frac{125}{3} π$

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9. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数 $p$ ，使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p ， p + 2)$ 称为孪生素数.则从不超过18的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{3}{28}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{5}{28}$

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10. 甲､乙､丙做同一道题：已知 $α ， β$ 是两个不同的平面， $m ， n ， l$ 是三条不同的直线，且满足 $m \subset α ， n \subset β ， α \cap β = l$ .甲说：“ $α ⊥ β$ ”；乙说：“ $m ⊥ n$ ”；丙说：“ $n$ $∥$ $l$ ”.如果三人说的均是正确的，则以下判断正确的是（）

A、 $m$ $∥$ $β$ B、 $n ⊥ α$ C、直线 $m ， l$ 不一定垂直 D、直线 $m ， n$ 为异面直线

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11. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 $F$ 为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在 $P$ 点处变轨进入以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在 $Q$ 点处变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为 $R$ ，圆形轨道III的半径为 $r$ ，则下列结论中正确的序号为（）
①轨道II的焦距为 $R - r$ ；
②若 $R$ 不变， $r$ 越大，轨道II的短轴长越小；
③轨道II的长轴长为 $R + r$ ；
④若 $r$ 不变， $R$ 越大，轨道II的离心率越大.

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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12. 已知 $a \neq 2$ 且 $a e^{2} = 2 e^{a} ， b \neq 3$ 且 $b e^{3} = 3 e^{b} ， c \neq 4$ 且 $c e^{4} = 4 e^{c}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. $△ A B C$ 的三内角 $A ､ B ､ C$ 所对边的长分别是 $a ､ b ､ c$ ，设向量 $\vec{p} = (a + c ， b) ， \vec{q} = (b - a ， c - a)$ ，若向量 $\vec{p}$ 与向量 $\vec{q}$ 共线，则角 $C =$ .

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14. 已知一组数据为 $2 ， 3 ， 6 ， 7 ， 8 ， 10 ， 11 ， 13$ ，若在这组数据中插入一个自然数 $a$ 使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则满足上述条件的最小自然数 $a$ 是.

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15. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下述四个结论：
① $ω = 2$ ；
② $φ = - \frac{π}{3}$ ；
③ $f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数；
④ $f (x - \frac{π}{12})$ 是偶函数，
其中所有正确结论的编号是.

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16. 已知 $1 + 2^{x} + a \cdot 4^{x} > 0$ 对一切 $x \in (- ∞ ， 1]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 设公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 5$ ，且 $a_{3} + a_{5} = 22$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = \frac{1}{2} (1 - 3^{n})$ ，求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 2023年，在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划､北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）
参加“强基培训”
不参加“强基培训”
男生
25
35
女生
5
25

(1)、根据表中数据并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？

(2)、用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .
$附： K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d .$
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $B E D F$ 是菱形，平面 $A B C D \cap$ 平面 $B E D F = B D$ .

(1)、证明： $A E ⊥ B D$ ；

(2)、若 $A B = B E$ ，且平面 $A B C D ⊥$ 平面 $B E D F$ ，求平面 $A D E$ 与平面 $C D F$ 所成二面角的正弦值.

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20. 设 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： x^{2} + 2 y^{2} = t^{2} (t > 0)$ 的左､右焦点.

(1)、求 $E$ 的离心率；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A ， B$ 两点（ $A B$ 与 $y$ 轴不平行）.
①当 $t$ 为常数时，若 $| A F_{2} | ， | A B | ， | B F_{2} |$ 成等差数列，求直线 $l$ 的方程；
②当 $t = \sqrt{2}$ 时.延长 $B F_{2}$ 与 $E$ 相交于另一个点 $C$ （ $B F_{2}$ 与 $x$ 轴不垂直），试判断直线 $A C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$ 的位置关系，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{k}{x}$ ，其中 $k > 0$ .

(1)、证明： $f (x)$ 恒有唯一零点；

(2)、记（1）中的零点为 $x_{0}$ ，当 $0 < k < \frac{e}{2}$ 时，证明： $f (x)$ 图象上存在关于点 $(x_{0} ， 0)$ 对称的两点.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} + 2 t \\ y = \frac{5}{2} - 2 t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1 + 2 s i n^{2} θ}}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程，曲线 $C_{2}$ 的参数方程；

(2)、若 $P ， Q$ 分别为曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 上的动点，求 $| P Q |$ 的最小值，并求 $| P Q |$ 取得最小值时， $Q$ 点的直角坐标.

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23. 已知不等式 $| x - 2 | + | 3 x + 1 | \leq 5$ 的解集为 $[a ， b]$ .

(1)、求 $a + b$ 的值；

(2)、若 $x > 0 ， y > 0 ， 4 b x + y + a = 0$ ，求证 $x + y \geq 9 x y$ .

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	参加“强基培训”	不参加“强基培训”
男生	25	35
女生	5	25

$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879