河北省部分重点高中2023-2024学年高三上学期12月普通高考模拟数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $A = {x | x - 3 > 0}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ N =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 在递增的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} - a_{1} = \frac{5}{2}$ ， $a_{2} = 3$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + x - 6$ 有一个零点 $x = x_{0}$ ，则 $x_{0}$ 属于下列哪个区间（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(2 ， \frac{5}{2})$

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4. 如图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国煤炭进口走势图，每组数据中的增速是与上一年同期相比的增速，则图中X的值约为（）

A、90.2 B、90.8 C、91.4 D、92.6

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5. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（）

A、 $f (x) = \frac{x}{l n | x + 2 |}$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x + 1} - 1}$ C、 $f (x) = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

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6. 已知离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P (x_{0} ， y_{0})$ 是椭圆上位于第一象限的一点，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = - \frac{1}{3}$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} a$ B、 $\frac{1}{2} a$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$

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7. 已知对任意实数x ， y ，函数 $f (x)$ 满足 $f (x y + 1) = f (x + 1) + f (y + 1)$ ，则 $f (x)$ （）

A、有对称中心 B、有对称轴 C、是增函数 D、是减函数

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8. 已知半径为 $R$ 的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为 $a$ ，当正四棱锥的高为 $h$ 时，正四棱锥的体积取得最大值 $V$ ，则（）

A、 $h = 2 a$ B、 $h = \frac{3}{2} a$ C、 $h = a$ D、 $h = \frac{1}{2} a$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线过原点 D、存在实数 $a$ ，使得 $y = f (x)$ 的图象与 $y = a^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称

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10. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x ， y ，设事件 $A_{1} =$ “ $x + y = 5$ ”，事件 $A_{2} =$ “ $y = x^{2}$ ”，事件 $A_{3} =$ “ $x + 2 y$ 为奇数”，则（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{1}{9}$ B、 $P (A_{2}) = \frac{1}{12}$ C、 $A_{1}$ 与 $A_{3}$ 相互独立 D、 $A_{2}$ 与 $A_{3}$ 相互独立

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11. 已知复数 $z_{0} = 1 - i$ ， $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、方程 $| z - z_{0} | = 2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是圆 B、方程 $| z - z_{0} | + | z - \bar{z_{0}} | = 2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C、方程 $| z - z_{0} | - | z - \bar{z_{0}} | = 1$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D、方程 $| z + \frac{1}{2} (z_{0} + \bar{z_{0}}) | = | z - z_{0} |$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是抛物线

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12. 已知定义： $e_{+}^{x} = {\begin{array}{l} 1 ， x < 0 ， \\ e^{x} ， x \geq 0 ， \end{array}$ 则下列命题正确的是（）

A、 $\forall b \in R^{+}$ ， ${(e_{+}^{x})}^{b} = e_{+}^{b x}$ B、若 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，则 $e_{+}^{x_{1}} \cdot e_{+}^{x_{2}} = e_{+}^{x_{1} + x_{2}}$ C、 $\forall x \in R$ ， $l n (e_{+}^{x} + 1) - \frac{x}{2} \geq l n 2$ D、若 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，则 $e_{+}^{x_{1}} \div e_{+}^{x_{2}} = e_{+}^{x_{1} - x_{2}}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若 $3 c o s 2 θ - 14 c o s θ + 7 = 0$ ，则 $c o s 2 θ =$ .

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14. 高三（1）班某竞赛小组有3名男生和2名女生，现选派3人分别领取数学、物理、化学竞赛资料，则至少有一名女生的选派方法共有种.（用数字作答）

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15. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其右支上有一点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，过点 $F_{2}$ 向 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线引垂线交于点 $H$ ，若 $| F_{2} H | = \frac{1}{2} b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率 $e =$ .

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16. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 的边长为2， $△ P A C$ 为正三角形，点M ， N分别在 $P B$ ， $P D$ 上，且 $P M = 2 M B$ ， $P N = 2 N D$ ，过点A ， M ， N的截面交 $P C$ 于点 $H$ ，则四棱锥 $P - A M H N$ 的体积为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $4 S_{n} = n (a_{n} + a_{n + 1} + 1)$ .

(1)、证明： $2 a_{n} + d = 2 n d + 1$ ；

(2)、若 $a_{3} = 8$ ，求 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示， ω＞0， $| φ | < \frac{π}{2}$ ，且 $∠ A C B = 90 °$ .

(1)、求 $ω$ 与 $φ$ 的值；

(2)、若斜率为 $\frac{\sqrt{6} π}{4}$ 的直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，求切点坐标.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $C D = A D = 1$ ， $N$ 是 $P B$ 的中点，点 $M$ ， $Q$ 分别在线段 $P D$ 与 $A P$ 上，且 $\vec{D M} = λ \vec{M P}$ ， $\vec{A Q} = μ \vec{Q P}$ .

(1)、当 $λ = 1$ 时，求平面 $M D N$ 与平面 $D N C$ 的夹角大小；

(2)、若 $M Q ∥$ 平面 $P B C$ ，证明： $μ = 1 + 2 λ$ .

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20. 已知 $x \in [0 ， 1)$ ， $f (x) = e^{x}$ .

(1)、证明： $x + 1 \leq f (x) \leq \frac{1}{1 - x}$ ；

(2)、比较 $f (2 x)$ 与 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 的大小.

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上有一点 $P (1 ， m) (m > 0)$ ， $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点， $E (- \frac{p}{2} ， 0)$ ，且 $| E P | = \sqrt{2} | P F |$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 向圆 $E$ ： ${(x + \frac{p}{2})}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （点 $P$ 在圆外）引两条切线，交抛物线 $C$ 于另外两点 $A$ ， $B$ ，求证：直线 $A B$ 过定点.

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22. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有 $\frac{1}{3}$ 的概率再传给该运动员，有 $\frac{2}{3}$ 的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第 $n$ 次传球传给甲运动员的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

(2)、求 $p_{n}$ 的表达式；

(3)、设 $q_{n} = | 2 p_{n} - 1 |$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} (q_{i + 1} - q_{i}) (s i n q_{i + 1} - s i n q_{i}) < \frac{1}{2}$ .

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