山东省潍坊市安丘市2023-2024学年高三上学期期末适应性考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ， $B = {x | l o g_{\frac{1}{2}} x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 3$ ，则 $f (x) < 5$ 的一个必要不充分条件是（）

A、 $x > - 4$ B、 $x > - 3$ C、 $x < - 2$ D、 $x < - 3$

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3. 江南的周庄、同里、甪直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知 $\vec{a} = (1 - m ， 2)$ ， $\vec{b} = (n ， 1)$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，若存在非零实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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5. 如图，将 $4 5^{∘}$ 的 $∠ A O B$ 按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点 $O$ 与尺下沿的端点重合， $O A$ 与尺下沿重合， $O B$ 与尺上沿的交点 $B$ 在尺上的读数为 $2 c m$ ，若按相同的方式将 $37 °$ 的 $∠ A O C$ 放置在该刻度尺上，则 $O C$ 与尺上沿的交点 $C$ 在尺上的读数与下列哪项最接近（）（结果精确到 $0.1 c m$ ，参考数据 $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）.

A、 $2.5 c m$ B、 $2.6 c m$ C、 $2.7 c m$ D、 $2.8 c m$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - b x + c$ （ $b > 0$ ， $c > 0$ ）的两个零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $- 1$ 三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式 $\frac{x - b}{x - c} ≤ 0$ 的解集为

A、 $(1 ， \frac{5}{2}]$ B、 $[1 ， \frac{5}{2})$ C、 $(- \infty ， 1) ∪ [\frac{5}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1] ∪ (\frac{5}{2} ， + \infty)$

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7. 已知 $F$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点， $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ 的直线与 $E$ 的右支交于点 $M ， \vec{M N} = 3 \vec{N F} ， M F ⊥ O N$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知 $a = t a n \frac{1}{2}$ ， $b = t a n \frac{2}{π}$ ， $c = \frac{\sqrt{3}}{π}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9. 已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i ， z_{2} = {(2 - i)}^{2} ， z_{3} = \frac{8 + 10 i}{1 + i} ，$ 则（）

A、 $z_{1} + z_{2} = 4 + 7 i$ B、z₁，z₂，z₃的实部依次成等比数列 C、 $\sqrt{10} | z_{1} | = 2 | z_{2} |$ D、 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3}$ 的虚部依次成等差数列

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10. 2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法不正确的是（）

A、猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小. B、这7种食品价格同比涨幅的平均值超过 $7 %$ C、去年11月鲜菜价格要比今年11月低 D、猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍

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11. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， A_{1} B_{1} = 2 ， A A_{1} = \sqrt{2} ，$ 则

A、该正四棱台的体积为 $\frac{19 \sqrt{2}}{6}$ B、直线 $A A_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为60° C、线段 $A_{1} C$ 的长为 $\sqrt{14}$ D、以 $A_{1}$ 为球心，且表面积为 6π的球与底面 $A B C D$ 相切

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12. 已知直线l与抛物线E： $y^{2} = 4 x$ 相交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，其中 $y_{1} > 0$ ， $y_{2} < 0$ ．分别过A ， B作抛物线准线的垂线，垂足分别C ， D ，线段AB的中点到准线的距离为d ，则下列命题正确的是

A、若直线l过抛物线的焦点F ，则焦点F在以线段CD为直径的圆外 B、若直线l过抛物线的焦点F ，则 $| A F | + 2 | B F |$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、若 $∠ A F B = \frac{2}{3} π$ ，则 $| A B | ≥ \sqrt{3} d$ D、若 $∠ A F B = \frac{2}{3} π$ ，则△ABF的面积的取值范围为 $[4 \sqrt{3} ， + \infty)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某校期末统考数学成绩服从正态分布 $N (76 ， 16)$ ．按 $15 %$ ， $35 %$ ， $35 %$ ， $15 %$ 的比例将考试成绩划为 $A ， B ， C ， D$ 四个等级，其中分数大于或等于83分的为 $A$ 等级，则 $B$ 等级的分数应为．（用区间表示）

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14. 已知 ${(2 x^{- 2} - x^{3})}^{n}$ 的二项式系数之和为256，则其展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

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15. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，过点 $A (1 ， 1)$ 的直线l与圆O交于P、Q两点，则 $| P Q |$ 的最小值等于．

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16. 某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分， $△ A B C$ 是该石雕与地面的接触面，其中 $A$ 是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组通过测量 $△ A B C$ 的三边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已知测得 $A B = 2 \sqrt{13} m ， B C = 2 \sqrt{5} m ， A C = 2 \sqrt{10} m$ ，则该石雕最高点 $P$ 到地面的距离为 $m$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\sqrt{3} b c o s A + a s i n B = \sqrt{3} c$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + 2 c = 6$ ，求 $b$ 的最小值.

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18. 已知S_n ，为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{3} = 3 S_{2} - a_{2} ， b_{n} = (n - 1) a_{n + 1} + (1 - 2 n) a_{n} .$

(1)、若 ${| b_{n} |}$ 为等差数列，求数列 ${| b_{n} |}$ 的通项公式；

(2)、若 ${| b_{n} |}$ 为等比数列， $T_{n} = | b_{1} | + 2 | b_{2} | + 3 | b_{3} | + \dots + n | b_{n} | ，$ ，求 $T_{n}$ .

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19. 如图，在三棱锥 P-ABC中，平面 PAB⊥平面ABC，AB=4，BC=2，AC=PA=PB=2 $\sqrt{5}$ ， D，E分别为PC，PA的中点.

(1)、证明：平面 BCE⊥平面 PAB.

(2)、求平面 PBC与平面BDE 的夹角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 4 a x) l n x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、令 $g (x) = f (x) + x^{2}$ ，若 $\forall x \in [1 ， + \infty)$ ，函数 $g (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为 $\frac{2}{5}$ ，摸取其余3种风筝的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为 $X$ 分，求 $X$ 的分布列与期望；

(2)、假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为 $1 ， 2 ， 3 ， ⋯$ 中的任意一个数，记乙累计得 $n$ 分的概率为 $P (n)$ ，当 $n ⩾ 3$ 时，求 $P (n)$ .

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22. 已知圆 $M ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $N (- 2 ， 0)$ ， P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM交于点Q ，点Q的轨迹为曲线C ．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、 $A_{1} (- 1.0) ， A_{2} (1.0)$ ，点E、F（不在曲线C上）是直线 $x = 2$ 上关于x轴对称的两点，直线 $A_{1} E$ 、 $A_{2} F$ 与曲线C分别交于点A、B（不与 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 重合），证明：直线AB过定点．

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