天津市第四十七中学2023-2024学年高三上学期数学第三次阶段性检测试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ x \leq \sqrt{5}} ， B = {x ∣ y = l g (x - 1)}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. “ $0 < a < b$ ”是“ $l g | a | - b^{2} < l g | b | - a^{2}$ ”的（）

A、既不充分也不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、充分不必要条件

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3. 少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）

A、样本的众数为65 B、样本的第80百分位数为72.5 C、样本的平均值为67.5 D、该校学生中低于65kg的学生大约为1000人

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4. 函数 $f (x) = \frac{(x + 1)^{2} \cdot s i n 2}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为 $9 c m$ ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（）（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.45 ， π \approx 3.14$ ）

A、 $20 c m^{3}$ B、 $22 c m^{3}$ C、 $26 c m^{3}$ D、 $30 c m^{3}$

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6. 已知函数 $y = f (x + 2)$ 是 $R$ 上的偶函数，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [2 ， + ∞)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立.若 $a = f (l o g_{3} 18) ， b = f (l n \frac{e^{2}}{\sqrt{2}}) ， c = f (e^{\frac{l n 10}{2}})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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7. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上､下焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的上支交于 $M ， N$ 两点，若 $| M F_{2} | ， | M N | ， | N F_{2} |$ 成等差数列，且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
① $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3} ， 0)$ 对称；
② $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称；
③ $f (x)$ 的图像可由 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到；
④若方程 $g (x) = f (t x) (t > 0)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{6})$ 上.有且只有两个极值点，则 $t$ 的最大值为 $\frac{13}{10}$ .
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 在 $△ O A B$ 中，已知 $| \vec{O B} | = \sqrt{2} ， | \vec{A B} | = 1 ， ∠ A O B = 4 5^{∘} ， P$ 是 $△ O A B$ 所在平面内一点，若 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，满足 $λ + 2 μ = 2$ ，且 $λ \geq 0 ， μ \geq 0$ ，则 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O P}$ 上投影的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$ B、 $[- 1 ， - \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[- \sqrt{2} ， - 1]$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）

10. 复数 $z = \frac{2 i^{7}}{1 - i}$ 的虚部为.

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11. 已知 $(1 + 2 x)^{n}$ 的二项式系数和为256，则展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为.

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12. 圆 $x^{2} + y^{2} - 8 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 3 x + 4 y - 18 = 0$ 的公共弦的长为.

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13. 天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高.（分数作答）.

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14. 已知 $a ， b ， c$ 均为正实数， $a b + a c = 4$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{2}{b + c} + \frac{8}{a + b + c}$ 的最小值是.

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15. 已知函数 $f (x) = | a x^{2} - | x - 2 | | + x - a$ ，若函数 $f (x)$ 恰有4个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $a c o s C + c c o s A = 2 b c o s B$ .

(1)、求 $B$ 的值；

(2)、若 $7 a = 5 b$ .
①求 $s i n A$ 的值；
②求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A B ∥ C D$ ，且 $C D = 2 ， A B = 1$ ， $B C = 2 \sqrt{2} ， P A = 1 ， A B ⊥ B C ， N$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的余弦值；

(2)、求点N到直线BC的距离；

(3)、在线段 $P D$ 上是否存在一点 $M$ ，使得直线 $C M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ ，若存在，求出 $\frac{D M}{D P}$ 的值；若不存在，说明理由.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $(0 ， \sqrt{3}) ， F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左､右焦点，且离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F_{2}$ 且斜率为k的直线l与椭圆C交于M ， N两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 2$ ，（ $O$ 为原点），求直线 $l$ 的方程；

(3)、过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为P ，若 $λ = | O P |^{2} - \frac{12}{| M N |}$ ，求 $λ$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 1 + a_{n - 1} (n > 1 ， n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = 2$ ，且 $2 b_{2}$ ， $b_{3}$ ， 8成等差数列，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $a_{n} \cdot c_{n} = \frac{b_{n} (a_{n} a_{n + 2} + 1)}{2^{n} \cdot (n + 2)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若数列 ${d_{n}}$ 满足 $d_{n} = \frac{1}{b_{n} + {(- 1)}^{n}}$ ，求证： $d_{1} + d_{2} + \cdot \cdot \cdot + d_{2 n} < \frac{5}{3}$ .

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20. 设函数 $f (x) = l n x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $a \leq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（i）证明 $f (x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明 $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

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