天津市重点外国语学校2023-2024学年高二上学期数学12月第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{6} = a_{8} + 6$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、19 B、42 C、35 D、24

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{5} x ， F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_{1}$ ，与双曲线的渐近线交于点A，若 $∠ F_{1} F_{2} A = \frac{π}{4}$ ，则双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{10} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

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5. 准线方程为 $x = 2$ 的抛物线的标准方程为（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = - 8 x$ C、 $x^{2} = 8 y$ D、 $x^{2} = - 8 y$

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线上一点且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、 $25 \sqrt{3}$ B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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7. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、32

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{n} = 4 n + 2$ B、 $a_{n} = 4 n - 2$ C、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 3 ， n = 1 \\ 4 n + 2 ， n > 1 \end{array}$ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 3 ， n = 1 \\ 4 n - 2 ， n > 1 \end{array}$

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9. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_{2}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $B$ ，若 $△ B F_{1} A$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

10. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率为.

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11. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{2} = 2 ， a_{5} = \frac{1}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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12. 设 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， y ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 4 ， 2)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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13. 已知 $a \in R$ ，若直线 $l_{1}$ ： $a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + (a - 1) y + 2 = 0$ 相互垂直，则 $a =$ .

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14. 若直线 $x - y + m = 0 (m > 0)$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 相交所得的弦长为 $m$ ，则 $m =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项均不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $S_{2 n - 1} = a_{n}^{2}$ （ $n \in N^{*}$ ），若不等式 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} \leq n l o g_{8} λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值是.

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三、问答题

16. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = 10$ ，且 $a_{2} + 10$ ， $a_{3} + 8$ ， $a_{4} + 6$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值.

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17. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 1$ ， $A A_{1} = A B = 2$ ， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、证明 $B_{1} C_{1} ⊥ C E$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - C E - C_{1}$ 的正弦值.

(3)、设点 $M$ 在线段 $C_{1} E$ 上，且直线 $A M$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求线段 $A M$ 的长.

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18. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $P B$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上.若 $| O N | = | O F |$ （ $O$ 为原点），且 $O P ⊥ M N$ ，求直线 $P B$ 的斜率.

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的一个顶点为 $A (0 ， - 3)$ ，右焦点为 $F$ ，且 $| O A | = | O F |$ ，其中 $O$ 为原点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知点 $C$ 满足 $3 \vec{O C} = \vec{O F}$ ，点 $B$ 在椭圆上（ $B$ 异于椭圆的顶点），直线 $A B$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ ，且 $P$ 为线段 $A B$ 的中点.求直线 $A B$ 的方程.

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20. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3})$ ， $b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2}$ （ $n \in N^{*}$ ）；

(3)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{cases} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为奇数， \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}} ， n 为偶数 . \end{cases}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和.

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