重庆市第七名校学2024届高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-20 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x \in N^{*} | x^{2} \leq 4 x}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x - 3}}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 $[0 ， 3]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 若复数 $\frac{2 - m i}{i} + 5 - i$ 为纯虚数，则 $m =$ （）

A、 $5$ B、 $- 5$ C、 $3$ D、 $- 3$

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、2 D、1

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4. 甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（）

A、27种 B、72种 C、36种 D、54种

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5. 如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知 $S A = \sqrt{5} d m$ ，直线 $S A$ 与圆锥底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $3 π d m^{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2} π d m^{2}$ C、 $\sqrt{5} π d m^{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2} π d m^{2}$

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6. 已知 $a = \frac{1}{2} l o g_{2} 3 ， b = l o g_{5} 4 ， c = 2^{- 0.09}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 $P$ ，若 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，若存在 $x_{1} \in (0 ， + ∞)$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = k (k < 0)$ 成立，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} > 1$ B、 $l n (- x_{2}) = - x_{1}$ C、 ${(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{2} \cdot e^{k}$ 的最大值为 $\frac{4}{e^{2}}$ D、 ${(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{2} \cdot e^{k}$ 的最大值为 $\frac{1}{e^{2}}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列四个命题，其中说法正确的是（）

A、“ $l n a > l n b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $\exists x_{0} > 1$ ， $l n (x_{0} - 1) \geq 0$ ”的否定是“ $\forall x \leq 1$ ， $l n (x - 1) < 0$ ” C、 $\vec{a} = (\frac{9}{2} ， k)$ ， $\vec{b} = (k ， 8)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k = 6$ D、若向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a}}{2}$

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10. 下列说法中，正确的是（）

A、一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位数为18 B、若随机变量 $ξ \sim N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 6) = 0.84$ ，则 $P (3 < ξ < 6) = 0.34$ ． C、袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记事件 $A =$ 第一次抽到的是白球，事件 $B =$ 第二次抽到的是白球，则 $P (B | A) = \frac{1}{3}$ D、设随机事件A ， B ，已知 $P (A) = 0.4$ ， $P (B | A) = 0.3$ ， $P (B | \bar{A}) = 0.2$ ，则 $P (B) = 0.24$ ．

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $M_{1} ， M_{2}$ ，离心率为 $e$ ，点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 在 $C$ 上，则（）

A、若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $3 b^{2}$ ，则 $t a n ∠ F_{1} A F_{2} = \frac{3}{4}$ B、若直线 $A M_{1} ， A M_{2}$ 的斜率之积为 $λ$ ，则 $e^{2} - λ = 1$ C、若 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆 $O$ 与 $C$ 无交点 D、若 $| A F_{1} | \leq 2 b$ ，则 $e$ 的最大值为 $\frac{3}{5}$

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则（）

A、异面直线 $D D_{1}$ 与 $B_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、点 $P$ 为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内一点，当 $D P / /$ 平面 $B_{1} E F$ 时， $D P$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、过点 $D_{1}$ ， $E$ ， $F$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面周长为 $2 \sqrt{13} + \sqrt{2}$ D、当三棱锥 $B_{1} - B E F$ 所有顶点都在球 $O$ 的表面上时，球 $O$ 的表面积为 $6 π$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数 $f (x) = 2 x e^{x}$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线斜率为.

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14. 若 $(x - 1 + m)^{2023} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{2023} (x - 1)^{2023}$ ，且 ${(a_{0} + a_{2} + ⋯ + a_{2022})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + ⋯ + a_{2023})}^{2} = 3^{2023}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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15. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 与直线 $l ： m x - y + 2 m = 0 (m > 0)$ ，过 $l$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $A$ ， $B$ ，若线段 $A B$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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16. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形 $A B C D E F G H$ 边长为2， $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 八条边上的动点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在△ABC中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $b c o s C + c c o s B = 2 b s i n A$ ，且 $s i n A \geq s i n B$ ．

(1)、求角B的值；

(2)、若 $c o s C + s i n B = 0$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求BC边上的中线AM的长．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是正项等比数列. $a_{1} + a_{2} = 4$ ，且 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 10$ ，

(1)、求 ${a_{a}}$ 的通项公式；

(2)、当 ${a_{n}}$ 为递增数列，设 $c_{n} = | a_{n} - 100 |$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在如图所示的五面体 $A B C D E F$ 中， $A B E F$ 共面， $△ A D F$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $E F / /$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2 E F = 2$ ，点 $M$ 为 $B C$ 中点.

(1)、在直线 $C D$ 上是否存在一点 $G$ ，使得平面 $E M G / /$ 平面 $B D F$ ，请说明理由；

(2)、当 $c o s ∠ B D F = \frac{1}{4}$ ，求平面 $B D F$ 与平面 $B E C$ 所成二面角的正弦值.

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20. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号 $n$ 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为 $X$ .

(1)、当 $n = 6$ 时，求 $P (X \leq 2)$

(2)、已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最 $Y$ ，若其数学期望 $E (Y)$ 和方差 $D (Y)$ 均存在，则对任意正实数 $a$ ，有 $P (| Y - E (Y) | < a) \geq 1 - \frac{D (Y)}{a^{2}}$ .根据该不等式可以对事件“ $| Y - E (Y) | < a$ ”的概率作出下限估计.为了至少有 $98 %$ 的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数 $n$ 的最小值.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ，点 $A$ 为抛物线 $C$ 上一点，过点 $A$ 作 $A H ⊥ y$ 轴，垂足为 $H$ ，线段 $A H$ 的中点为 $T$ （当 $A$ 与 $H$ 重合时，认为 $T$ 也与 $H$ 重合），设动点 $T$ 的轨迹为 $Γ$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、设 $P ， M ， N$ 为曲线 $Γ$ 上不同的三点，且 $△ P M N$ 的重心为 $G (1 ， 0)$ ，求 $△ P M N$ 面积的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{a x}{x + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $s i n \frac{1}{n + 1} + s i n \frac{1}{n + 2} + ⋯ + s i n \frac{1}{2 n} < l n 2 (n \in N^{*})$ .

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