2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.3 二次根式的加减同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ C、 $\sqrt{12} \div 2 = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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2. 下列各式中，能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{18}$

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3. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} - 2 = \sqrt{3}$

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4. 下列二次根式中，与 $\sqrt{8}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{0.2}$ C、 $\sqrt{98}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{4}}$

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5. 计算： $(\sqrt{30} + \sqrt{21} - 3) (\sqrt{3} + \sqrt{10} - \sqrt{7})$ 的值等于（　　）

A、 $6 \sqrt{7}$ B、 $- 6 \sqrt{7}$ C、 $20 \sqrt{3} + 6 \sqrt{7}$ D、 $20 \sqrt{3} - 6 \sqrt{7}$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{3} \cdot x^{3} = 2 x^{3}$ B、 ${(x^{2} y)}^{3} = x^{6} y^{3}$ C、 ${(2 x - y)}^{2} = 4 x^{2} - y^{2}$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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7. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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二、填空题

8. 若最简二次根式 $\sqrt{2 x + 3}$ 和 $\sqrt{9 - x}$ 是同类二次根式，则 $x =$ ．

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9. 已知最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 和 $\sqrt{8}$ 是同类二次根式，则m的值是

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10. 计算 $\sqrt{18} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的结果是．

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11. 计算： $\frac{\sqrt{50} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} =$ ．

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12. 计算： $\sqrt{18}$ − $\sqrt{32}$ +2 $\sqrt{2}$ = ．

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三、解答题

13. 计算

(1)、 $\sqrt{5} \times \sqrt{2} \div 3 \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} - \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$

(3)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{6}}) \div \sqrt{2}$

(4)、 $\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{21}}{\sqrt{15}} - 14 \sqrt{\frac{1}{7}} - \sqrt[3]{- 8}$ .

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14. 小明在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求2a²-8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
∴（a-2）²＝3，a²-4a+4＝3，
∴a²-4a＝-1，
∴2a²-8a+1＝2（a²-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、①化简 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ＝　 ▲ 　；
②当 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ 时，求3a²-6a-1的值．

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{121} + \sqrt{119}}$ ．

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四、计算题

15. 已知 $a = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}} ， b = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ．求：

(1)、a²b﹣ab²的值；

(2)、a³﹣5a²﹣6a﹣b+2015的值．

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五、综合题

16.

(1)、计算： ${(\frac{1}{3})}^{0} + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2} - \sqrt{8} \times \sqrt{3}$ ．

(2)、先化简，再求值： $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \div \frac{x^{2} y}{x^{2} - y^{2}}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ， $y = \sqrt{2} - 1$ ．

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17. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ； $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$ ； $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{13}{12}$

(1)、请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} =$ ；

(2)、请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整）表示的等式，并验证；

(3)、利用上述规律计算 $\sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}}$ ．

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