2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $A B / / C D$ ， $A D$ ， $B C$ 相交于点 $O .$ 若 $A B = 1$ ， $C D = 2$ ， $B O$ ： $C O =$ （）

A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1

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2. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点A在双曲线 $y = - \frac{8}{x}$ 上，点B，C在x轴上，延长 $C D$ 至点E，使 $C D = 2 D E$ ，连接 $B E$ 交y轴于点F，连接 $C F$ ，则 $△ B F C$ 的面积为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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3. 如图，在直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为 $B (- 4 ， 6)$ ， $D (0 ， 4)$ ，线段 $E F$ 在边 $O A$ 上移动，保持 $E F = 3$ ，当四边形 $B D E F$ 的周长最小时，点E的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(- \frac{6}{5} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{5} ， 0)$ D、 $(- \frac{2}{5} ， 0)$

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4. 如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ $\frac{A C}{C D} = \frac{A B}{B C}$ ；④AC²＝AD•AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{25}{11}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点， $P$ 是 $B C$ 边上的一点，下列条件中，不能推出 $△ A B P$ 与 $△ E C P$ 相似的是（）

A、 $∠ A P B = ∠ E P C$ B、 $A B \cdot P C = E C \cdot B P$ C、 $P$ 是 $B C$ 的中点 D、 $B P ： B C = 2 ： 3$

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7. 如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若 $\frac{S_{△ D E O}}{S_{△ F C O}} = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{A E}{A B}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ，射线 $A M$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A M$ 于点D ， $C E ⊥ A M$ 于点E ，若F为 $B C$ 的中点，连接 $E F ， D F$ ．下列结论：① $F E ∥ A B$ ；② $A C = D E$ ；③ $F E = F D$ ；④ $∠ B A C + ∠ D F E = 180 °$ ．其中正确结论的序号是（）

A、①②④ B、①③④ C、②③ D、①②③④

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二、填空题

9. 已知 $A B / / C D$ ， AD与BC相交于点O.若 $\frac{B O}{O C} = \frac{2}{3}$ ， AD=10，则AO= ．

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10. 如图， $A D$ 、 $B C$ 相交于点O，点E、F分别在 $B C$ 、 $A D$ 上， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，如果 $C E = 6$ ， $E O = 4$ ， $B O = 5$ ， $A F = 6$ ，那么 $A D =$ ．

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11. 直线l上的三个点A、B、C ，若满足BC＝ $\frac{1}{2}$ AB ，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝ $\frac{1}{2}$ AB ，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm ．则MP＝cm ．

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 上一点，过B作 $B G ⊥ A E$ 于G，延长 $B G$ 至点F使 $∠ C F B = 45 °$ ，延长 $F C 、 A E$ 交于点M，连接 $B M$ ，若C为 $F M$ 中点， $B M = 10$ ，则 $F G$ 的长为．

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $B$ ， $C$ 在 $x$ 轴上， $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上， $\frac{A F}{B F} = \frac{1}{2}$ ，连接 $C F$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $F$ 作 $F P ∥ x$ 轴交 $C D$ 于点 $P$ ，点 $P$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图象上.若 $△ B C G$ 的面积为 $2$ ，则 $k$ 的值为； $△ D E G$ 的面积与 $△ B O G$ 的面积差为 .

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三、解答题

14. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $D E / / B C ， A D = 8 ， A C = 6 ， B D = A E$ ，求BD的长.

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15. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 过B、C两点，连接AC．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求证：△AOC∽△ACB；

(3)、抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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四、作图题

16. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点． $△ A B C$ 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．

(1)、在图①中的 $A C$ 边上确定一点D ，连结 $B D$ ，使得 $S_{△ A B C} = 3 S_{△ A B D}$ ；

(2)、在图②中的 $A B$ 边上确定一点E ，连结 $C E$ ，使得 $S_{△ A E C} = 3 S_{△ B E C}$ ；

(3)、在图③中的 $A B$ 边上确定一点M ， $A C$ 边上确定一点N ，连结 $M N$ ，使得 $S_{四边形 M N C B} = 3 S_{△ A M N}$ ．

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五、综合题

17. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连结EC，EF，EC平分∠FEB，EF∥BC.

(1)、求证：EB＝BC.

(2)、若AD∥EF，DF＝FC，请判断AE与BC的大小关系，并说明理由.

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18. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，抛物线 $P$ ： $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线 $P$ 的函数表达式；

(2)、如图 $2$ ，抛物线 $P$ 的顶点为 $D$ ，连接 $D A$ ， $D C$ ， $A C$ ， $B C$ ，求证： $△ A C D$ ∽ $△ C O B$ ；

(3)、记抛物线 $P$ 位于 $x$ 轴上方的部分为 $P'$ ，将 $P'$ 向下平移 $h (h > 0)$ 个单位，使平移后的 $P'$ 与 $△ O A C$ 的三条边有两个交点，请直接写出 $h$ 的取值范围．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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