2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $\sqrt{x (x - 6)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 6}$ ，则（　　）

A、 $x \geq 6$ B、 $x \geq 0$ C、 $0 \leq x \leq 6$ D、x为一切实数

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2. 若0＜ $x$ ＜1，那么 $x + 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 的化简结果是（）

A、 $2 x$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $2 x + 2$

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3. 要使二次根式 $\sqrt{1 - x}$ 有意义，则x应满足（）

A、x≠1 B、x≥1 C、x≤1 D、x＜1

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4. 已知实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点如图，则化简 $\sqrt{(a + b)_{}^{2}} - \sqrt{(a - b)_{}^{2}} - \sqrt{a_{}^{2}}$ 得（）

A、 $- 3 a$ B、 $- a + 2 b$ C、 $- 2 a$ D、 $a - b$

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5. 二次根式 $\sqrt{3 x + 6}$ 中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如果代数式 $\sqrt{a}$ + $\frac{1}{\sqrt{a b}}$ 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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8. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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二、填空题

9. 请写出一个正整数m的值使得 $\sqrt{8 m}$ 是整数； $m =$ ．

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10. 若 $\sqrt{m - 3} + {(n + 1)}^{2} = 0$ ，则m﹣n的值为．

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11. 计算： $（ \sqrt{\frac{1}{7}} ）^{2019} \times （ - \sqrt{7} ）^{2020}$ ＝．

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12. 化简 $\sqrt{14 - 8 \sqrt{3}}$ ＝

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13. 已知 $a^{2} = 81$ ， $\sqrt[3]{b} = - 2$ ，则 $\sqrt{b - a} =$ ．

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三、解答题

14. 若x ， y是实数，且 $y = \sqrt{4 x - 1} + \sqrt{1 - 4 x} + \frac{1}{3}$ ．

(1)、求x ， y的值；

(2)、求 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的值．

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15. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (a ， 0)$ ， $B (b ， 0)$ ，其中 $a$ ， $b$ 满足 $\sqrt{a + 1} + {(b - 3)}^{2} = 0$ ．

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若在第三象限内有一点 $M (- 2 ， m)$ ，用含 $m$ 的式子表示 $△ A B M$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，线段 $B M$ 与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， - \frac{9}{5})$ ，当 $m = - 3$ 时，点 $P$ 是 $y$ 轴上的动点，当满足 $△ P B M$ 的面积是 $△ A B M$ 的面积的5倍时，求点 $P$ 的坐标．

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四、计算题

16. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b ⩾ 0)$ .
例如化简： $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，

这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，

由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，

所以 ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7, \sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，

所以 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ .

根据上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ .

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五、综合题

17. 著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ．

解决问题：

(1)、在括号内填上适当的数： $\sqrt{14 + 6 \sqrt{5}} = \sqrt{9 + 2 \times 3 \times \sqrt{5} + ①} = \sqrt{{(3 + ②)}^{2}} = ③$
①：， ②：， ③ ．

(2)、根据上述思路，求出 $\sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 的值．

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2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式 同步分层训练培优题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式同步分层训练培优题